Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28465 / 43823
↖ ↑ ↗
← S 51.778037°
W 23.637085°		 ← 377.94 m → S 51.778037°
W 23.631592°		 →
↑
377.86 m
↓
↑
377.86 m
↓
S 51.781435°
W 23.637085°		 ← 377.91 m →
142 804 m²		 S 51.781435°
W 23.631592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434349060058594 y=0.668693542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434349060058594 × 216)
    floor (0.434349060058594 × 65536)
    floor (28465.5)     		tx = 28465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668693542480469 × 216)
    floor (0.668693542480469 × 65536)
    floor (43823.5)     		ty = 43823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28465 / 43823 ti = "16/28465/43823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28465/43823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28465 ÷ 216
    28465 ÷ 65536     		x = 0.434341430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43823 ÷ 216
    43823 ÷ 65536     		y = 0.668685913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434341430664062 × 2 - 1) × π
    -0.131317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41254496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668685913085938 × 2 - 1) × π
    -0.337371826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05988485059944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41254496} λ = -0.41254496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05988485059944))-π/2
    2×atan(0.34649570680592)-π/2
    2×0.333549549955957-π/2
    0.667099099911915-1.57079632675     		φ = -0.90369723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41254496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.637085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90369723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.778037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28465 KachelY 43823 -0.41254496 -0.90369723 -23.637085 -51.778037
    Oben rechts KachelX + 1 28466 KachelY 43823 -0.41244908 -0.90369723 -23.631592 -51.778037
    Unten links KachelX 28465 KachelY + 1 43824 -0.41254496 -0.90375654 -23.637085 -51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 28466 KachelY + 1 43824 -0.41244908 -0.90375654 -23.631592 -51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90369723--0.90375654) × R
    5.93100000000346e-05 × 6371000     		dl = 377.864010000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90369723--0.90375654) × R
    5.93100000000346e-05 × 6371000     		dr = 377.864010000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41254496--0.41244908) × cos(-0.90369723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.618709586571816 × 6371000     		do = 377.939666647553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41254496--0.41244908) × cos(-0.90375654) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 377.911203291247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90369723)-sin(-0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618709586571816-0.618662990374151)×R²
    abs(-0.41244908--0.41254496)×4.65961976651164e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65961976651164e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65961976651164e-05×40589641000000     		ar = 142804.420380275m²