Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28457 / 44407
↖ ↑ ↗
← S 53.719466°
W 23.681030°		 ← 361.46 m → S 53.719466°
W 23.675537°		 →
↑
361.43 m
↓
↑
361.43 m
↓
S 53.722717°
W 23.681030°		 ← 361.44 m →
130 638 m²		 S 53.722717°
W 23.675537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434226989746094 y=0.677604675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434226989746094 × 216)
    floor (0.434226989746094 × 65536)
    floor (28457.5)     		tx = 28457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677604675292969 × 216)
    floor (0.677604675292969 × 65536)
    floor (44407.5)     		ty = 44407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28457 / 44407 ti = "16/28457/44407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28457/44407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28457 ÷ 216
    28457 ÷ 65536     		x = 0.434219360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44407 ÷ 216
    44407 ÷ 65536     		y = 0.677597045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434219360351562 × 2 - 1) × π
    -0.131561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41331195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677597045898438 × 2 - 1) × π
    -0.355194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11587514935567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41331195} λ = -0.41331195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11587514935567))-π/2
    2×atan(0.327628429590848)-π/2
    2×0.316607383912904-π/2
    0.633214767825808-1.57079632675     		φ = -0.93758156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41331195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.681030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93758156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.719466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28457 KachelY 44407 -0.41331195 -0.93758156 -23.681030 -53.719466
    Oben rechts KachelX + 1 28458 KachelY 44407 -0.41321607 -0.93758156 -23.675537 -53.719466
    Unten links KachelX 28457 KachelY + 1 44408 -0.41331195 -0.93763829 -23.681030 -53.722717
    Unten rechts KachelX + 1 28458 KachelY + 1 44408 -0.41321607 -0.93763829 -23.675537 -53.722717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93758156--0.93763829) × R
    5.67299999999493e-05 × 6371000     		dl = 361.426829999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93758156--0.93763829) × R
    5.67299999999493e-05 × 6371000     		dr = 361.426829999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41331195--0.41321607) × cos(-0.93758156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591739329149007 × 6371000     		do = 361.46484498485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41331195--0.41321607) × cos(-0.93763829) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591693596477495 × 6371000     		du = 361.436909114773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93758156)-sin(-0.93763829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591739329149007-0.591693596477495)×R²
    abs(-0.41321607--0.41331195)×4.57326715123108e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.57326715123108e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.57326715123108e-05×40589641000000     		ar = 130638.04472775m²