Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28410 / 43794
↖ ↑ ↗
← S 51.679368°
W 23.939209°		 ← 378.77 m → S 51.679368°
W 23.933716°		 →
↑
378.76 m
↓
↑
378.76 m
↓
S 51.682774°
W 23.939209°		 ← 378.74 m →
143 454 m²		 S 51.682774°
W 23.933716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433509826660156 y=0.668251037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433509826660156 × 216)
    floor (0.433509826660156 × 65536)
    floor (28410.5)     		tx = 28410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668251037597656 × 216)
    floor (0.668251037597656 × 65536)
    floor (43794.5)     		ty = 43794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28410 / 43794 ti = "16/28410/43794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28410/43794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28410 ÷ 216
    28410 ÷ 65536     		x = 0.433502197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43794 ÷ 216
    43794 ÷ 65536     		y = 0.668243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.13299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41781802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.33648681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05710451042148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41781802} λ = -0.41781802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05710451042148))-π/2
    2×atan(0.347460423239514)-π/2
    2×0.334410601145993-π/2
    0.668821202291986-1.57079632675     		φ = -0.90197512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41781802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90197512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.679368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28410 KachelY 43794 -0.41781802 -0.90197512 -23.939209 -51.679368
    Oben rechts KachelX + 1 28411 KachelY 43794 -0.41772214 -0.90197512 -23.933716 -51.679368
    Unten links KachelX 28410 KachelY + 1 43795 -0.41781802 -0.90203457 -23.939209 -51.682774
    Unten rechts KachelX + 1 28411 KachelY + 1 43795 -0.41772214 -0.90203457 -23.933716 -51.682774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90197512--0.90203457) × R
    5.94499999999609e-05 × 6371000     		dl = 378.755949999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90197512--0.90203457) × R
    5.94499999999609e-05 × 6371000     		dr = 378.755949999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41781802--0.41772214) × cos(-0.90197512) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.620061592150238 × 6371000     		do = 378.7655412561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41781802--0.41772214) × cos(-0.90203457) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.620014949370636 × 6371000     		du = 378.737049445149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90197512)-sin(-0.90203457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620061592150238-0.620014949370636)×R²
    abs(-0.41772214--0.41781802)×4.66427796023128e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66427796023128e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66427796023128e-05×40589641000000     		ar = 143454.306726344m²