Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28404 / 43797
↖ ↑ ↗
← S 51.689585°
W 23.972168°		 ← 378.64 m → S 51.689585°
W 23.966675°		 →
↑
378.63 m
↓
↑
378.63 m
↓
S 51.692990°
W 23.972168°		 ← 378.61 m →
143 359 m²		 S 51.692990°
W 23.966675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433418273925781 y=0.668296813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433418273925781 × 216)
    floor (0.433418273925781 × 65536)
    floor (28404.5)     		tx = 28404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668296813964844 × 216)
    floor (0.668296813964844 × 65536)
    floor (43797.5)     		ty = 43797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28404 / 43797 ti = "16/28404/43797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28404/43797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28404 ÷ 216
    28404 ÷ 65536     		x = 0.43341064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43797 ÷ 216
    43797 ÷ 65536     		y = 0.668289184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1331787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41839326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668289184570312 × 2 - 1) × π
    -0.336578369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0573921318192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41839326} λ = -0.41839326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0573921318192))-π/2
    2×atan(0.347360500557569)-π/2
    2×0.334321439716277-π/2
    0.668642879432554-1.57079632675     		φ = -0.90215345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41839326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.972168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90215345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.689585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28404 KachelY 43797 -0.41839326 -0.90215345 -23.972168 -51.689585
    Oben rechts KachelX + 1 28405 KachelY 43797 -0.41829739 -0.90215345 -23.966675 -51.689585
    Unten links KachelX 28404 KachelY + 1 43798 -0.41839326 -0.90221288 -23.972168 -51.692990
    Unten rechts KachelX + 1 28405 KachelY + 1 43798 -0.41829739 -0.90221288 -23.966675 -51.692990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90215345--0.90221288) × R
    5.94299999999715e-05 × 6371000     		dl = 378.628529999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90215345--0.90221288) × R
    5.94299999999715e-05 × 6371000     		dr = 378.628529999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41839326--0.41829739) × cos(-0.90215345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619921672930909 × 6371000     		do = 378.640576184131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41839326--0.41829739) × cos(-0.90221288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619875039272588 × 6371000     		du = 378.612092915958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90215345)-sin(-0.90221288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619921672930909-0.619875039272588)×R²
    abs(-0.41829739--0.41839326)×4.66336583209159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66336583209159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66336583209159e-05×40589641000000     		ar = 143358.732512152m²