Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2839 / 1801
↖ ↑ ↗
← N 21.207459°
E 69.521484°		 ← 9 111.13 m → N 21.207459°
E 69.609375°		 →
↑
9 113.65 m
↓
↑
9 113.65 m
↓
N 21.125498°
E 69.521484°		 ← 9 116.18 m →
83 058 663 m²		 N 21.125498°
E 69.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6932373046875 y=0.4398193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6932373046875 × 212)
    floor (0.6932373046875 × 4096)
    floor (2839.5)     		tx = 2839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4398193359375 × 212)
    floor (0.4398193359375 × 4096)
    floor (1801.5)     		ty = 1801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2839 / 1801 ti = "12/2839/1801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2839/1801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2839 ÷ 212
    2839 ÷ 4096     		x = 0.693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1801 ÷ 212
    1801 ÷ 4096     		y = 0.439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.693115234375 × 2 - 1) × π
    0.38623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.21337880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    0.12060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.378893254596924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21337880} λ = 1.21337880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378893254596924))-π/2
    2×atan(1.4606671079221)-π/2
    2×0.97046815380627-π/2
    1.94093630761254-1.57079632675     		φ = 0.37013998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21337880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37013998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.207459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2839 KachelY 1801 1.21337880 0.37013998 69.521484 21.207459
    Oben rechts KachelX + 1 2840 KachelY 1801 1.21491278 0.37013998 69.609375 21.207459
    Unten links KachelX 2839 KachelY + 1 1802 1.21337880 0.36870949 69.521484 21.125498
    Unten rechts KachelX + 1 2840 KachelY + 1 1802 1.21491278 0.36870949 69.609375 21.125498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37013998-0.36870949) × R
    0.00143049000000001 × 6371000     		dl = 9113.65179000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37013998-0.36870949) × R
    0.00143049000000001 × 6371000     		dr = 9113.65179000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21337880-1.21491278) × cos(0.37013998) × R
    0.00153397999999982 × 0.932276717543836 × 6371000     		do = 9111.12784940131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21337880-1.21491278) × cos(0.36870949) × R
    0.00153397999999982 × 0.932793237451247 × 6371000     		du = 9116.17579152475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37013998)-sin(0.36870949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932276717543836-0.932793237451247)×R²
    abs(1.21491278-1.21337880)×0.000516519907411528×R²
    0.00153397999999982×0.000516519907411528×6371000²
    0.00153397999999982×0.000516519907411528×40589641000000     		ar = 83058663.3905903m²