Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28369 / 43900
↖ ↑ ↗
← S 52.038977°
W 24.164429°		 ← 375.71 m → S 52.038977°
W 24.158936°		 →
↑
375.70 m
↓
↑
375.70 m
↓
S 52.042355°
W 24.164429°		 ← 375.68 m →
141 148 m²		 S 52.042355°
W 24.158936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432884216308594 y=0.669868469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432884216308594 × 216)
    floor (0.432884216308594 × 65536)
    floor (28369.5)     		tx = 28369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669868469238281 × 216)
    floor (0.669868469238281 × 65536)
    floor (43900.5)     		ty = 43900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28369 / 43900 ti = "16/28369/43900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28369/43900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28369 ÷ 216
    28369 ÷ 65536     		x = 0.432876586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43900 ÷ 216
    43900 ÷ 65536     		y = 0.66986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432876586914062 × 2 - 1) × π
    -0.134246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42174884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.3397216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06726713314093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42174884} λ = -0.42174884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06726713314093))-π/2
    2×atan(0.343947196086035)-π/2
    2×0.331272423035376-π/2
    0.662544846070752-1.57079632675     		φ = -0.90825148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42174884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.164429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90825148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.038977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28369 KachelY 43900 -0.42174884 -0.90825148 -24.164429 -52.038977
    Oben rechts KachelX + 1 28370 KachelY 43900 -0.42165297 -0.90825148 -24.158936 -52.038977
    Unten links KachelX 28369 KachelY + 1 43901 -0.42174884 -0.90831045 -24.164429 -52.042355
    Unten rechts KachelX + 1 28370 KachelY + 1 43901 -0.42165297 -0.90831045 -24.158936 -52.042355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90825148--0.90831045) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dl = 375.697869999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90825148--0.90831045) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dr = 375.697869999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42174884--0.42165297) × cos(-0.90825148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615125273655304 × 6371000     		do = 375.710994166554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42174884--0.42165297) × cos(-0.90831045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615078778904864 × 6371000     		du = 375.682595741617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90825148)-sin(-0.90831045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615125273655304-0.615078778904864)×R²
    abs(-0.42165297--0.42174884)×4.64947504399404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64947504399404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64947504399404e-05×40589641000000     		ar = 141148.485670731m²