Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28356 / 44876
↖ ↑ ↗
← S 55.216490°
W 24.235840°		 ← 348.44 m → S 55.216490°
W 24.230347°		 →
↑
348.49 m
↓
↑
348.49 m
↓
S 55.219624°
W 24.235840°		 ← 348.41 m →
121 425 m²		 S 55.219624°
W 24.230347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432685852050781 y=0.684761047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432685852050781 × 216)
    floor (0.432685852050781 × 65536)
    floor (28356.5)     		tx = 28356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684761047363281 × 216)
    floor (0.684761047363281 × 65536)
    floor (44876.5)     		ty = 44876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28356 / 44876 ti = "16/28356/44876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28356/44876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28356 ÷ 216
    28356 ÷ 65536     		x = 0.43267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44876 ÷ 216
    44876 ÷ 65536     		y = 0.68475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.3695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16083996119928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42299520} λ = -0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16083996119928))-π/2
    2×atan(0.313222975210904)-π/2
    2×0.30354338631044-π/2
    0.607086772620881-1.57079632675     		φ = -0.96370955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96370955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.216490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28356 KachelY 44876 -0.42299520 -0.96370955 -24.235840 -55.216490
    Oben rechts KachelX + 1 28357 KachelY 44876 -0.42289933 -0.96370955 -24.230347 -55.216490
    Unten links KachelX 28356 KachelY + 1 44877 -0.42299520 -0.96376425 -24.235840 -55.219624
    Unten rechts KachelX + 1 28357 KachelY + 1 44877 -0.42289933 -0.96376425 -24.230347 -55.219624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96370955--0.96376425) × R
    5.46999999999631e-05 × 6371000     		dl = 348.493699999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96370955--0.96376425) × R
    5.46999999999631e-05 × 6371000     		dr = 348.493699999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42299520--0.42289933) × cos(-0.96370955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57047721492844 × 6371000     		do = 348.440505941945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42299520--0.42289933) × cos(-0.96376425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570432288230483 × 6371000     		du = 348.413065264286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96370955)-sin(-0.96376425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57047721492844-0.570432288230483)×R²
    abs(-0.42289933--0.42299520)×4.49266979565266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49266979565266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49266979565266e-05×40589641000000     		ar = 121424.539724195m²