Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28287 / 45441
↖ ↑ ↗
← S 56.947970°
W 24.614868°		 ← 333.12 m → S 56.947970°
W 24.609375°		 →
↑
333.14 m
↓
↑
333.14 m
↓
S 56.950966°
W 24.614868°		 ← 333.10 m →
110 972 m²		 S 56.950966°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431632995605469 y=0.693382263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431632995605469 × 216)
    floor (0.431632995605469 × 65536)
    floor (28287.5)     		tx = 28287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693382263183594 × 216)
    floor (0.693382263183594 × 65536)
    floor (45441.5)     		ty = 45441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28287 / 45441 ti = "16/28287/45441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28287/45441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28287 ÷ 216
    28287 ÷ 65536     		x = 0.431625366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45441 ÷ 216
    45441 ÷ 65536     		y = 0.693374633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431625366210938 × 2 - 1) × π
    -0.136749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42961049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.386749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21500865776994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42961049} λ = -0.42961049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21500865776994))-π/2
    2×atan(0.296707445458122)-π/2
    2×0.288433371592739-π/2
    0.576866743185478-1.57079632675     		φ = -0.99392958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42961049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.614868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99392958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.947970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28287 KachelY 45441 -0.42961049 -0.99392958 -24.614868 -56.947970
    Oben rechts KachelX + 1 28288 KachelY 45441 -0.42951462 -0.99392958 -24.609375 -56.947970
    Unten links KachelX 28287 KachelY + 1 45442 -0.42961049 -0.99398187 -24.614868 -56.950966
    Unten rechts KachelX + 1 28288 KachelY + 1 45442 -0.42951462 -0.99398187 -24.609375 -56.950966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99392958--0.99398187) × R
    5.22900000000659e-05 × 6371000     		dl = 333.13959000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99392958--0.99398187) × R
    5.22900000000659e-05 × 6371000     		dr = 333.13959000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42961049--0.42951462) × cos(-0.99392958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545400401752518 × 6371000     		do = 333.123895143518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42961049--0.42951462) × cos(-0.99398187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545356572802748 × 6371000     		du = 333.097124957025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99392958)-sin(-0.99398187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545400401752518-0.545356572802748)×R²
    abs(-0.42951462--0.42961049)×4.38289497709521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38289497709521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38289497709521e-05×40589641000000     		ar = 110972.298768126m²