Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28285 / 45437
↖ ↑ ↗
← S 56.935984°
W 24.625854°		 ← 333.23 m → S 56.935984°
W 24.620361°		 →
↑
333.27 m
↓
↑
333.27 m
↓
S 56.938982°
W 24.625854°		 ← 333.20 m →
111 050 m²		 S 56.938982°
W 24.620361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431602478027344 y=0.693321228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431602478027344 × 216)
    floor (0.431602478027344 × 65536)
    floor (28285.5)     		tx = 28285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693321228027344 × 216)
    floor (0.693321228027344 × 65536)
    floor (45437.5)     		ty = 45437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28285 / 45437 ti = "16/28285/45437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28285/45437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28285 ÷ 216
    28285 ÷ 65536     		x = 0.431594848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45437 ÷ 216
    45437 ÷ 65536     		y = 0.693313598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431594848632812 × 2 - 1) × π
    -0.136810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42980224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693313598632812 × 2 - 1) × π
    -0.386627197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21462516257298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42980224} λ = -0.42980224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21462516257298))-π/2
    2×atan(0.296821253159316)-π/2
    2×0.288537967618223-π/2
    0.577075935236446-1.57079632675     		φ = -0.99372039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42980224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.625854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99372039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.935984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28285 KachelY 45437 -0.42980224 -0.99372039 -24.625854 -56.935984
    Oben rechts KachelX + 1 28286 KachelY 45437 -0.42970637 -0.99372039 -24.620361 -56.935984
    Unten links KachelX 28285 KachelY + 1 45438 -0.42980224 -0.99377270 -24.625854 -56.938982
    Unten rechts KachelX + 1 28286 KachelY + 1 45438 -0.42970637 -0.99377270 -24.620361 -56.938982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99372039--0.99377270) × R
    5.23099999999443e-05 × 6371000     		dl = 333.267009999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99372039--0.99377270) × R
    5.23099999999443e-05 × 6371000     		dr = 333.267009999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42980224--0.42970637) × cos(-0.99372039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545575727779671 × 6371000     		do = 333.230982136665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42980224--0.42970637) × cos(-0.99377270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545531888034705 × 6371000     		du = 333.2042053566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99372039)-sin(-0.99377270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545575727779671-0.545531888034705)×R²
    abs(-0.42970637--0.42980224)×4.38397449658012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38397449658012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38397449658012e-05×40589641000000     		ar = 111050.431172279m²