Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2825 / 1804
↖ ↑ ↗
← N 20.961440°
E 68.291016°		 ← 9 126.22 m → N 20.961440°
E 68.378906°		 →
↑
9 128.75 m
↓
↑
9 128.75 m
↓
N 20.879343°
E 68.291016°		 ← 9 131.22 m →
83 333 864 m²		 N 20.879343°
E 68.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6898193359375 y=0.4405517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6898193359375 × 212)
    floor (0.6898193359375 × 4096)
    floor (2825.5)     		tx = 2825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4405517578125 × 212)
    floor (0.4405517578125 × 4096)
    floor (1804.5)     		ty = 1804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2825 / 1804 ti = "12/2825/1804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2825/1804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2825 ÷ 212
    2825 ÷ 4096     		x = 0.689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1804 ÷ 212
    1804 ÷ 4096     		y = 0.4404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689697265625 × 2 - 1) × π
    0.37939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19190307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19190307} λ = 1.19190307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374291312233398))-π/2
    2×atan(1.4539606452921)-π/2
    2×0.968321232004433-π/2
    1.93664246400887-1.57079632675     		φ = 0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19190307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2825 KachelY 1804 1.19190307 0.36584614 68.291016 20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 2826 KachelY 1804 1.19343705 0.36584614 68.378906 20.961440
    Unten links KachelX 2825 KachelY + 1 1805 1.19190307 0.36441328 68.291016 20.879343
    Unten rechts KachelX + 1 2826 KachelY + 1 1805 1.19343705 0.36441328 68.378906 20.879343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36584614-0.36441328) × R
    0.00143285999999998 × 6371000     		dl = 9128.75105999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36584614-0.36441328) × R
    0.00143285999999998 × 6371000     		dr = 9128.75105999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19190307-1.19343705) × cos(0.36584614) × R
    0.00153398000000005 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 9126.22398813628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19190307-1.19343705) × cos(0.36441328) × R
    0.00153398000000005 × 0.934333029661168 × 6371000     		du = 9131.22416012961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36584614)-sin(0.36441328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.934333029661168)×R²
    abs(1.19343705-1.19190307)×0.000511631930771972×R²
    0.00153398000000005×0.000511631930771972×6371000²
    0.00153398000000005×0.000511631930771972×40589641000000     		ar = 83333863.8258321m²