Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28240 / 44880
↖ ↑ ↗
← S 55.229023°
W 24.873047°		 ← 348.33 m → S 55.229023°
W 24.867554°		 →
↑
348.37 m
↓
↑
348.37 m
↓
S 55.232156°
W 24.873047°		 ← 348.30 m →
121 342 m²		 S 55.232156°
W 24.867554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430915832519531 y=0.684822082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430915832519531 × 216)
    floor (0.430915832519531 × 65536)
    floor (28240.5)     		tx = 28240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684822082519531 × 216)
    floor (0.684822082519531 × 65536)
    floor (44880.5)     		ty = 44880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28240 / 44880 ti = "16/28240/44880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28240/44880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28240 ÷ 216
    28240 ÷ 65536     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44880 ÷ 216
    44880 ÷ 65536     		y = 0.684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.36962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16122345639624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16122345639624))-π/2
    2×atan(0.313102878734016)-π/2
    2×0.30343401590111-π/2
    0.606868031802219-1.57079632675     		φ = -0.96392829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96392829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.229023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28240 KachelY 44880 -0.43411656 -0.96392829 -24.873047 -55.229023
    Oben rechts KachelX + 1 28241 KachelY 44880 -0.43402069 -0.96392829 -24.867554 -55.229023
    Unten links KachelX 28240 KachelY + 1 44881 -0.43411656 -0.96398297 -24.873047 -55.232156
    Unten rechts KachelX + 1 28241 KachelY + 1 44881 -0.43402069 -0.96398297 -24.867554 -55.232156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96392829--0.96398297) × R
    5.46799999999736e-05 × 6371000     		dl = 348.366279999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96392829--0.96398297) × R
    5.46799999999736e-05 × 6371000     		dr = 348.366279999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43402069) × cos(-0.96392829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570297547182735 × 6371000     		do = 348.330767080205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43402069) × cos(-0.96398297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570252630089706 × 6371000     		du = 348.303332269119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96392829)-sin(-0.96398297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570297547182735-0.570252630089706)×R²
    abs(-0.43402069--0.43411656)×4.49170930296727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49170930296727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49170930296727e-05×40589641000000     		ar = 121341.91488563m²