Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2822 / 1803
↖ ↑ ↗
← N 21.043491°
E 68.027344°		 ← 9 121.21 m → N 21.043491°
E 68.115234°		 →
↑
9 123.72 m
↓
↑
9 123.72 m
↓
N 20.961440°
E 68.027344°		 ← 9 126.22 m →
83 242 225 m²		 N 20.961440°
E 68.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6890869140625 y=0.4403076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6890869140625 × 212)
    floor (0.6890869140625 × 4096)
    floor (2822.5)     		tx = 2822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4403076171875 × 212)
    floor (0.4403076171875 × 4096)
    floor (1803.5)     		ty = 1803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2822 / 1803 ti = "12/2822/1803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2822/1803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2822 ÷ 212
    2822 ÷ 4096     		x = 0.68896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1803 ÷ 212
    1803 ÷ 4096     		y = 0.440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68896484375 × 2 - 1) × π
    0.3779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18730113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440185546875 × 2 - 1) × π
    0.11962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.37582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18730113} λ = 1.18730113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37582529302124))-π/2
    2×atan(1.45619270451855)-π/2
    2×0.9690372673163-π/2
    1.9380745346326-1.57079632675     		φ = 0.36727821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18730113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36727821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.043491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2822 KachelY 1803 1.18730113 0.36727821 68.027344 21.043491
    Oben rechts KachelX + 1 2823 KachelY 1803 1.18883511 0.36727821 68.115234 21.043491
    Unten links KachelX 2822 KachelY + 1 1804 1.18730113 0.36584614 68.027344 20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 2823 KachelY + 1 1804 1.18883511 0.36584614 68.115234 20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36727821-0.36584614) × R
    0.00143207000000001 × 6371000     		dl = 9123.71797000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36727821-0.36584614) × R
    0.00143207000000001 × 6371000     		dr = 9123.71797000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18730113-1.18883511) × cos(0.36727821) × R
    0.00153398000000005 × 0.933308132253376 × 6371000     		do = 9121.20785151738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18730113-1.18883511) × cos(0.36584614) × R
    0.00153398000000005 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 9126.22398813628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36727821)-sin(0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933308132253376-0.933821397730396)×R²
    abs(1.18883511-1.18730113)×0.000513265477020575×R²
    0.00153398000000005×0.000513265477020575×6371000²
    0.00153398000000005×0.000513265477020575×40589641000000     		ar = 83242225.1171667m²