Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2821 / 1799
↖ ↑ ↗
← N 21.371244°
E 67.939453°		 ← 9 100.98 m → N 21.371244°
E 68.027344°		 →
↑
9 103.52 m
↓
↑
9 103.52 m
↓
N 21.289374°
E 67.939453°		 ← 9 106.06 m →
82 874 147 m²		 N 21.289374°
E 68.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6888427734375 y=0.4393310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6888427734375 × 212)
    floor (0.6888427734375 × 4096)
    floor (2821.5)     		tx = 2821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4393310546875 × 212)
    floor (0.4393310546875 × 4096)
    floor (1799.5)     		ty = 1799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2821 / 1799 ti = "12/2821/1799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2821/1799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2821 ÷ 212
    2821 ÷ 4096     		x = 0.688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1799 ÷ 212
    1799 ÷ 4096     		y = 0.439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688720703125 × 2 - 1) × π
    0.37744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18576715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439208984375 × 2 - 1) × π
    0.12158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.381961216172607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18576715} λ = 1.18576715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381961216172607))-π/2
    2×atan(1.46515525970232)-π/2
    2×0.971897453150162-π/2
    1.94379490630032-1.57079632675     		φ = 0.37299858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18576715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37299858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.371244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2821 KachelY 1799 1.18576715 0.37299858 67.939453 21.371244
    Oben rechts KachelX + 1 2822 KachelY 1799 1.18730113 0.37299858 68.027344 21.371244
    Unten links KachelX 2821 KachelY + 1 1800 1.18576715 0.37156968 67.939453 21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 2822 KachelY + 1 1800 1.18730113 0.37156968 68.027344 21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37299858-0.37156968) × R
    0.00142890000000001 × 6371000     		dl = 9103.52190000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37299858-0.37156968) × R
    0.00142890000000001 × 6371000     		dr = 9103.52190000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18576715-1.18730113) × cos(0.37299858) × R
    0.00153398000000005 × 0.931238822929872 × 6371000     		do = 9100.98451926891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18576715-1.18730113) × cos(0.37156968) × R
    0.00153398000000005 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 9106.06406637433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37299858)-sin(0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931238822929872-0.931758576749633)×R²
    abs(1.18730113-1.18576715)×0.000519753819760882×R²
    0.00153398000000005×0.000519753819760882×6371000²
    0.00153398000000005×0.000519753819760882×40589641000000     		ar = 82874146.8676123m²