Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2820 / 1798
↖ ↑ ↗
← N 21.453069°
E 67.851563°		 ← 9 095.89 m → N 21.453069°
E 67.939453°		 →
↑
9 098.43 m
↓
↑
9 098.43 m
↓
N 21.371244°
E 67.851563°		 ← 9 100.98 m →
82 781 461 m²		 N 21.371244°
E 67.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6885986328125 y=0.4390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6885986328125 × 212)
    floor (0.6885986328125 × 4096)
    floor (2820.5)     		tx = 2820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4390869140625 × 212)
    floor (0.4390869140625 × 4096)
    floor (1798.5)     		ty = 1798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2820 / 1798 ti = "12/2820/1798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2820/1798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2820 ÷ 212
    2820 ÷ 4096     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1798 ÷ 212
    1798 ÷ 4096     		y = 0.43896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    0.1220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.383495196960449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383495196960449))-π/2
    2×atan(1.46740450442995)-π/2
    2×0.972611504544189-π/2
    1.94522300908838-1.57079632675     		φ = 0.37442668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37442668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.453069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2820 KachelY 1798 1.18423317 0.37442668 67.851563 21.453069
    Oben rechts KachelX + 1 2821 KachelY 1798 1.18576715 0.37442668 67.939453 21.453069
    Unten links KachelX 2820 KachelY + 1 1799 1.18423317 0.37299858 67.851563 21.371244
    Unten rechts KachelX + 1 2821 KachelY + 1 1799 1.18576715 0.37299858 67.939453 21.371244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37442668-0.37299858) × R
    0.00142809999999999 × 6371000     		dl = 9098.42509999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37442668-0.37299858) × R
    0.00142809999999999 × 6371000     		dr = 9098.42509999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18576715) × cos(0.37442668) × R
    0.00153398000000005 × 0.930717460340206 × 6371000     		do = 9095.88924967679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18576715) × cos(0.37299858) × R
    0.00153398000000005 × 0.931238822929872 × 6371000     		du = 9100.98451926891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37442668)-sin(0.37299858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930717460340206-0.931238822929872)×R²
    abs(1.18576715-1.18423317)×0.00052136258966573×R²
    0.00153398000000005×0.00052136258966573×6371000²
    0.00153398000000005×0.00052136258966573×40589641000000     		ar = 82781460.5896422m²