Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28020 / 45364
↖ ↑ ↗
← S 56.716566°
W 26.081543°		 ← 335.22 m → S 56.716566°
W 26.076050°		 →
↑
335.18 m
↓
↑
335.18 m
↓
S 56.719580°
W 26.081543°		 ← 335.20 m →
112 355 m²		 S 56.719580°
W 26.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427558898925781 y=0.692207336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427558898925781 × 216)
    floor (0.427558898925781 × 65536)
    floor (28020.5)     		tx = 28020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692207336425781 × 216)
    floor (0.692207336425781 × 65536)
    floor (45364.5)     		ty = 45364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28020 / 45364 ti = "16/28020/45364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28020/45364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28020 ÷ 216
    28020 ÷ 65536     		x = 0.42755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45364 ÷ 216
    45364 ÷ 65536     		y = 0.69219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.3843994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20762637522845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45520880} λ = -0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20762637522845))-π/2
    2×atan(0.298905928580022)-π/2
    2×0.290452757231194-π/2
    0.580905514462388-1.57079632675     		φ = -0.98989081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98989081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.716566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28020 KachelY 45364 -0.45520880 -0.98989081 -26.081543 -56.716566
    Oben rechts KachelX + 1 28021 KachelY 45364 -0.45511292 -0.98989081 -26.076050 -56.716566
    Unten links KachelX 28020 KachelY + 1 45365 -0.45520880 -0.98994342 -26.081543 -56.719580
    Unten rechts KachelX + 1 28021 KachelY + 1 45365 -0.45511292 -0.98994342 -26.076050 -56.719580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98989081--0.98994342) × R
    5.26100000000085e-05 × 6371000     		dl = 335.178310000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98989081--0.98994342) × R
    5.26100000000085e-05 × 6371000     		dr = 335.178310000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45520880--0.45511292) × cos(-0.98989081) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.548781142987144 × 6371000     		do = 335.223773389957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45520880--0.45511292) × cos(-0.98994342) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.548737162053172 × 6371000     		du = 335.196907571348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98989081)-sin(-0.98994342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548781142987144-0.548737162053172)×R²
    abs(-0.45511292--0.45520880)×4.39809339720654e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.39809339720654e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.39809339720654e-05×40589641000000     		ar = 112355.235442374m²