Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27970 / 45410
↖ ↑ ↗
← S 56.854980°
W 26.356201°		 ← 333.99 m → S 56.854980°
W 26.350708°		 →
↑
333.90 m
↓
↑
333.90 m
↓
S 56.857982°
W 26.356201°		 ← 333.96 m →
111 516 m²		 S 56.857982°
W 26.350708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426795959472656 y=0.692909240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426795959472656 × 216)
    floor (0.426795959472656 × 65536)
    floor (27970.5)     		tx = 27970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692909240722656 × 216)
    floor (0.692909240722656 × 65536)
    floor (45410.5)     		ty = 45410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27970 / 45410 ti = "16/27970/45410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27970/45410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27970 ÷ 216
    27970 ÷ 65536     		x = 0.426788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45410 ÷ 216
    45410 ÷ 65536     		y = 0.692901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.14642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46000249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.38580322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.2120365699935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46000249} λ = -0.46000249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2120365699935))-π/2
    2×atan(0.297590597782966)-π/2
    2×0.289244870521943-π/2
    0.578489741043886-1.57079632675     		φ = -0.99230659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46000249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.356201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99230659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.854980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27970 KachelY 45410 -0.46000249 -0.99230659 -26.356201 -56.854980
    Oben rechts KachelX + 1 27971 KachelY 45410 -0.45990661 -0.99230659 -26.350708 -56.854980
    Unten links KachelX 27970 KachelY + 1 45411 -0.46000249 -0.99235900 -26.356201 -56.857982
    Unten rechts KachelX + 1 27971 KachelY + 1 45411 -0.45990661 -0.99235900 -26.350708 -56.857982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99230659--0.99235900) × R
    5.24100000000027e-05 × 6371000     		dl = 333.904110000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99230659--0.99235900) × R
    5.24100000000027e-05 × 6371000     		dr = 333.904110000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46000249--0.45990661) × cos(-0.99230659) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546760033517102 × 6371000     		do = 333.989175678746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46000249--0.45990661) × cos(-0.99235900) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546716150431049 × 6371000     		du = 333.962369630683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99230659)-sin(-0.99235900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546760033517102-0.546716150431049)×R²
    abs(-0.45990661--0.46000249)×4.38830860527428e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38830860527428e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38830860527428e-05×40589641000000     		ar = 111515.883155466m²