Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27964 / 45377
↖ ↑ ↗
← S 56.755734°
W 26.389160°		 ← 334.84 m → S 56.755734°
W 26.383667°		 →
↑
334.86 m
↓
↑
334.86 m
↓
S 56.758746°
W 26.389160°		 ← 334.81 m →
112 120 m²		 S 56.758746°
W 26.383667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426704406738281 y=0.692405700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426704406738281 × 216)
    floor (0.426704406738281 × 65536)
    floor (27964.5)     		tx = 27964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692405700683594 × 216)
    floor (0.692405700683594 × 65536)
    floor (45377.5)     		ty = 45377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27964 / 45377 ti = "16/27964/45377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27964/45377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27964 ÷ 216
    27964 ÷ 65536     		x = 0.42669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45377 ÷ 216
    45377 ÷ 65536     		y = 0.692398071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46057773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692398071289062 × 2 - 1) × π
    -0.384796142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20887273461858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46057773} λ = -0.46057773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20887273461858))-π/2
    2×atan(0.298533616434738)-π/2
    2×0.290110946093565-π/2
    0.580221892187129-1.57079632675     		φ = -0.99057443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46057773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.389160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99057443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.755734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27964 KachelY 45377 -0.46057773 -0.99057443 -26.389160 -56.755734
    Oben rechts KachelX + 1 27965 KachelY 45377 -0.46048186 -0.99057443 -26.383667 -56.755734
    Unten links KachelX 27964 KachelY + 1 45378 -0.46057773 -0.99062699 -26.389160 -56.758746
    Unten rechts KachelX + 1 27965 KachelY + 1 45378 -0.46048186 -0.99062699 -26.383667 -56.758746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99057443--0.99062699) × R
    5.25599999999793e-05 × 6371000     		dl = 334.859759999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99057443--0.99062699) × R
    5.25599999999793e-05 × 6371000     		dr = 334.859759999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46057773--0.46048186) × cos(-0.99057443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548209531679565 × 6371000     		do = 334.839677347298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46057773--0.46048186) × cos(-0.99062699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548165572838105 × 6371000     		du = 334.812827824551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99057443)-sin(-0.99062699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548209531679565-0.548165572838105)×R²
    abs(-0.46048186--0.46057773)×4.39588414601344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39588414601344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39588414601344e-05×40589641000000     		ar = 112119.838608395m²