Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27916 / 45324
↖ ↑ ↗
← S 56.595791°
W 26.652832°		 ← 336.26 m → S 56.595791°
W 26.647339°		 →
↑
336.26 m
↓
↑
336.26 m
↓
S 56.598815°
W 26.652832°		 ← 336.24 m →
113 068 m²		 S 56.598815°
W 26.647339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425971984863281 y=0.691596984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425971984863281 × 216)
    floor (0.425971984863281 × 65536)
    floor (27916.5)     		tx = 27916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691596984863281 × 216)
    floor (0.691596984863281 × 65536)
    floor (45324.5)     		ty = 45324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27916 / 45324 ti = "16/27916/45324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27916/45324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27916 ÷ 216
    27916 ÷ 65536     		x = 0.42596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45324 ÷ 216
    45324 ÷ 65536     		y = 0.69158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20379142325885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46517967} λ = -0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20379142325885))-π/2
    2×atan(0.300054419255288)-π/2
    2×0.29150671965234-π/2
    0.58301343930468-1.57079632675     		φ = -0.98778289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98778289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.595791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27916 KachelY 45324 -0.46517967 -0.98778289 -26.652832 -56.595791
    Oben rechts KachelX + 1 27917 KachelY 45324 -0.46508380 -0.98778289 -26.647339 -56.595791
    Unten links KachelX 27916 KachelY + 1 45325 -0.46517967 -0.98783567 -26.652832 -56.598815
    Unten rechts KachelX + 1 27917 KachelY + 1 45325 -0.46508380 -0.98783567 -26.647339 -56.598815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98778289--0.98783567) × R
    5.27800000000855e-05 × 6371000     		dl = 336.261380000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98778289--0.98783567) × R
    5.27800000000855e-05 × 6371000     		dr = 336.261380000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46517967--0.46508380) × cos(-0.98778289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55054207205744 × 6371000     		do = 336.264364483136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46517967--0.46508380) × cos(-0.98783567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550498010155053 × 6371000     		du = 336.237452012035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98778289)-sin(-0.98783567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55054207205744-0.550498010155053)×R²
    abs(-0.46508380--0.46517967)×4.40619023872602e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40619023872602e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40619023872602e-05×40589641000000     		ar = 113068.194460091m²