Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27520 / 32384
↖ ↑ ↗
← S 84.673512°
E122.343750°		 ← 113.40 m → S 84.673512°
E122.354736°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 84.674532°
E122.343750°		 ← 113.38 m →
12 859 m²		 S 84.674532°
E122.354736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.839859008789062 y=0.988296508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.839859008789062 × 215)
    floor (0.839859008789062 × 32768)
    floor (27520.5)     		tx = 27520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.988296508789062 × 215)
    floor (0.988296508789062 × 32768)
    floor (32384.5)     		ty = 32384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27520 / 32384 ti = "15/27520/32384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27520/32384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27520 ÷ 215
    27520 ÷ 32768     		x = 0.83984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32384 ÷ 215
    32384 ÷ 32768     		y = 0.98828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83984375 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98828125 × 2 - 1) × π
    -0.9765625 × 3.1415926535     		Φ = -3.06796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.13530126} λ = 2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.06796157568359))-π/2
    2×atan(0.0465158773778337)-π/2
    2×0.0464823716478539-π/2
    0.0929647432957078-1.57079632675     		φ = -1.47783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.673512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27520 KachelY 32384 2.13530126 -1.47783158 122.343750 -84.673512
    Oben rechts KachelX + 1 27521 KachelY 32384 2.13549300 -1.47783158 122.354736 -84.673512
    Unten links KachelX 27520 KachelY + 1 32385 2.13530126 -1.47784938 122.343750 -84.674532
    Unten rechts KachelX + 1 27521 KachelY + 1 32385 2.13549300 -1.47784938 122.354736 -84.674532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47783158--1.47784938) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dl = 113.403800001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47783158--1.47784938) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dr = 113.403800001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.13530126-2.13549300) × cos(-1.47783158) × R
    0.000191739999999996 × 0.0928308975419283 × 6371000     		do = 113.399953793463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.13530126-2.13549300) × cos(-1.47784938) × R
    0.000191739999999996 × 0.0928131743895952 × 6371000     		du = 113.378303624081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47783158)-sin(-1.47784938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0928308975419283-0.0928131743895952)×R²
    abs(2.13549300-2.13530126)×1.77231523331017e-05×R²
    0.000191739999999996×1.77231523331017e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.77231523331017e-05×40589641000000     		ar = 12858.7580746929m²