Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27424 / 30496
↖ ↑ ↗
← S 82.355800°
E121.289063°		 ← 162.50 m → S 82.355800°
E121.300049°		 →
↑
162.52 m
↓
↑
162.52 m
↓
S 82.357262°
E121.289063°		 ← 162.46 m →
26 407 m²		 S 82.357262°
E121.300049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836929321289062 y=0.930679321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836929321289062 × 215)
    floor (0.836929321289062 × 32768)
    floor (27424.5)     		tx = 27424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930679321289062 × 215)
    floor (0.930679321289062 × 32768)
    floor (30496.5)     		ty = 30496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27424 / 30496 ti = "15/27424/30496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27424/30496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27424 ÷ 215
    27424 ÷ 32768     		x = 0.8369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30496 ÷ 215
    30496 ÷ 32768     		y = 0.9306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8369140625 × 2 - 1) × π
    0.673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.11689349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9306640625 × 2 - 1) × π
    -0.861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70594210975293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11689349} λ = 2.11689349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70594210975293))-π/2
    2×atan(0.0668073543290722)-π/2
    2×0.0667082276176619-π/2
    0.133416455235324-1.57079632675     		φ = -1.43737987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11689349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.289063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43737987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.355800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27424 KachelY 30496 2.11689349 -1.43737987 121.289063 -82.355800
    Oben rechts KachelX + 1 27425 KachelY 30496 2.11708523 -1.43737987 121.300049 -82.355800
    Unten links KachelX 27424 KachelY + 1 30497 2.11689349 -1.43740538 121.289063 -82.357262
    Unten rechts KachelX + 1 27425 KachelY + 1 30497 2.11708523 -1.43740538 121.300049 -82.357262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43737987--1.43740538) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dl = 162.524209999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43737987--1.43740538) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dr = 162.524209999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11689349-2.11708523) × cos(-1.43737987) × R
    0.000191739999999996 × 0.13302100784328 × 6371000     		do = 162.495209487495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11689349-2.11708523) × cos(-1.43740538) × R
    0.000191739999999996 × 0.132995724501801 × 6371000     		du = 162.464323975976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43737987)-sin(-1.43740538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13302100784328-0.132995724501801)×R²
    abs(2.11708523-2.11689349)×2.52833414782216e-05×R²
    0.000191739999999996×2.52833414782216e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.52833414782216e-05×40589641000000     		ar = 26406.8957303651m²