Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27408 / 30992
↖ ↑ ↗
← S 83.047529°
E121.113281°		 ← 147.87 m → S 83.047529°
E121.124267°		 →
↑
147.87 m
↓
↑
147.87 m
↓
S 83.048858°
E121.113281°		 ← 147.84 m →
21 863 m²		 S 83.048858°
E121.124267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836441040039062 y=0.945816040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836441040039062 × 215)
    floor (0.836441040039062 × 32768)
    floor (27408.5)     		tx = 27408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945816040039062 × 215)
    floor (0.945816040039062 × 32768)
    floor (30992.5)     		ty = 30992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27408 / 30992 ti = "15/27408/30992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27408/30992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27408 ÷ 215
    27408 ÷ 32768     		x = 0.83642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30992 ÷ 215
    30992 ÷ 32768     		y = 0.94580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83642578125 × 2 - 1) × π
    0.6728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11382553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    -0.8916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.80104891859912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11382553} λ = 2.11382553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.80104891859912))-π/2
    2×atan(0.0607463112603579)-π/2
    2×0.0606717559834443-π/2
    0.121343511966889-1.57079632675     		φ = -1.44945281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11382553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44945281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.047529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27408 KachelY 30992 2.11382553 -1.44945281 121.113281 -83.047529
    Oben rechts KachelX + 1 27409 KachelY 30992 2.11401727 -1.44945281 121.124267 -83.047529
    Unten links KachelX 27408 KachelY + 1 30993 2.11382553 -1.44947602 121.113281 -83.048858
    Unten rechts KachelX + 1 27409 KachelY + 1 30993 2.11401727 -1.44947602 121.124267 -83.048858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44945281--1.44947602) × R
    2.32100000001623e-05 × 6371000     		dl = 147.870910001034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44945281--1.44947602) × R
    2.32100000001623e-05 × 6371000     		dr = 147.870910001034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11382553-2.11401727) × cos(-1.44945281) × R
    0.000191739999999996 × 0.121045953921543 × 6371000     		do = 147.866776526521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11382553-2.11401727) × cos(-1.44947602) × R
    0.000191739999999996 × 0.121022914554287 × 6371000     		du = 147.838632199024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44945281)-sin(-1.44947602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121045953921543-0.121022914554287)×R²
    abs(2.11401727-2.11382553)×2.30393672558116e-05×R²
    0.000191739999999996×2.30393672558116e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.30393672558116e-05×40589641000000     		ar = 21863.1139411694m²