Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27391 / 30463
↖ ↑ ↗
← S 82.307422°
E120.926514°		 ← 163.52 m → S 82.307422°
E120.937500°		 →
↑
163.54 m
↓
↑
163.54 m
↓
S 82.308893°
E120.926514°		 ← 163.49 m →
26 740 m²		 S 82.308893°
E120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835922241210938 y=0.929672241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835922241210938 × 215)
    floor (0.835922241210938 × 32768)
    floor (27391.5)     		tx = 27391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929672241210938 × 215)
    floor (0.929672241210938 × 32768)
    floor (30463.5)     		ty = 30463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27391 / 30463 ti = "15/27391/30463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27391/30463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27391 ÷ 215
    27391 ÷ 32768     		x = 0.835906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30463 ÷ 215
    30463 ÷ 32768     		y = 0.929656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.835906982421875 × 2 - 1) × π
    0.67181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.11056582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.85931396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69961443900308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11056582} λ = 2.11056582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69961443900308))-π/2
    2×atan(0.0672314295601766)-π/2
    2×0.0671304065839732-π/2
    0.134260813167946-1.57079632675     		φ = -1.43653551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11056582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.926514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43653551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.307422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27391 KachelY 30463 2.11056582 -1.43653551 120.926514 -82.307422
    Oben rechts KachelX + 1 27392 KachelY 30463 2.11075756 -1.43653551 120.937500 -82.307422
    Unten links KachelX 27391 KachelY + 1 30464 2.11056582 -1.43656118 120.926514 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 27392 KachelY + 1 30464 2.11075756 -1.43656118 120.937500 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43653551--1.43656118) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dl = 163.543570000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43653551--1.43656118) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dr = 163.543570000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11056582-2.11075756) × cos(-1.43653551) × R
    0.000191739999999996 × 0.133857816682589 × 6371000     		do = 163.517434697251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11056582-2.11075756) × cos(-1.43656118) × R
    0.000191739999999996 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 163.4863590027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43653551)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133857816682589-0.133832377654437)×R²
    abs(2.11075756-2.11056582)×2.54390281513306e-05×R²
    0.000191739999999996×2.54390281513306e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.54390281513306e-05×40589641000000     		ar = 26739.6839147621m²