Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27376 / 30960
↖ ↑ ↗
← S 83.004844°
E120.761719°		 ← 148.78 m → S 83.004844°
E120.772705°		 →
↑
148.76 m
↓
↑
148.76 m
↓
S 83.006182°
E120.761719°		 ← 148.75 m →
22 131 m²		 S 83.006182°
E120.772705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835464477539062 y=0.944839477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835464477539062 × 215)
    floor (0.835464477539062 × 32768)
    floor (27376.5)     		tx = 27376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.944839477539062 × 215)
    floor (0.944839477539062 × 32768)
    floor (30960.5)     		ty = 30960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27376 / 30960 ti = "15/27376/30960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27376/30960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27376 ÷ 215
    27376 ÷ 32768     		x = 0.83544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30960 ÷ 215
    30960 ÷ 32768     		y = 0.94482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83544921875 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.10768960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    -0.8896484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.79491299544775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.10768960} λ = 2.10768960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79491299544775))-π/2
    2×atan(0.0611201918361854)-π/2
    2×0.0610442535233545-π/2
    0.122088507046709-1.57079632675     		φ = -1.44870782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.10768960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44870782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.004844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27376 KachelY 30960 2.10768960 -1.44870782 120.761719 -83.004844
    Oben rechts KachelX + 1 27377 KachelY 30960 2.10788135 -1.44870782 120.772705 -83.004844
    Unten links KachelX 27376 KachelY + 1 30961 2.10768960 -1.44873117 120.761719 -83.006182
    Unten rechts KachelX + 1 27377 KachelY + 1 30961 2.10788135 -1.44873117 120.772705 -83.006182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44870782--1.44873117) × R
    2.33499999999776e-05 × 6371000     		dl = 148.762849999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44870782--1.44873117) × R
    2.33499999999776e-05 × 6371000     		dr = 148.762849999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.10768960-2.10788135) × cos(-1.44870782) × R
    0.000191749999999935 × 0.121785432279668 × 6371000     		do = 148.777864151009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.10768960-2.10788135) × cos(-1.44873117) × R
    0.000191749999999935 × 0.121762256053338 × 6371000     		du = 148.749551163258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44870782)-sin(-1.44873117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121785432279668-0.121762256053338)×R²
    abs(2.10788135-2.10768960)×2.31762263295382e-05×R²
    0.000191749999999935×2.31762263295382e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.31762263295382e-05×40589641000000     		ar = 22130.5131292076m²