Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27295 / 32415
↖ ↑ ↗
← S 84.705035°
E119.871826°		 ← 112.73 m → S 84.705035°
E119.882812°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 84.706049°
E119.871826°		 ← 112.71 m →
12 704 m²		 S 84.706049°
E119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832992553710938 y=0.989242553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832992553710938 × 215)
    floor (0.832992553710938 × 32768)
    floor (27295.5)     		tx = 27295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.989242553710938 × 215)
    floor (0.989242553710938 × 32768)
    floor (32415.5)     		ty = 32415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27295 / 32415 ti = "15/27295/32415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27295/32415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27295 ÷ 215
    27295 ÷ 32768     		x = 0.832977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32415 ÷ 215
    32415 ÷ 32768     		y = 0.989227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.832977294921875 × 2 - 1) × π
    0.66595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.09215805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.989227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.97845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -3.07390575123648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.09215805} λ = 2.09215805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.07390575123648))-π/2
    2×atan(0.0462401989887903)-π/2
    2×0.0462072849506837-π/2
    0.0924145699013674-1.57079632675     		φ = -1.47838176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.09215805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.871826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47838176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.705035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27295 KachelY 32415 2.09215805 -1.47838176 119.871826 -84.705035
    Oben rechts KachelX + 1 27296 KachelY 32415 2.09234979 -1.47838176 119.882812 -84.705035
    Unten links KachelX 27295 KachelY + 1 32416 2.09215805 -1.47839945 119.871826 -84.706049
    Unten rechts KachelX + 1 27296 KachelY + 1 32416 2.09234979 -1.47839945 119.882812 -84.706049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47838176--1.47839945) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47838176--1.47839945) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.09215805-2.09234979) × cos(-1.47838176) × R
    0.000191739999999996 × 0.0922830792579054 × 6371000     		do = 112.730752377336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.09215805-2.09234979) × cos(-1.47839945) × R
    0.000191739999999996 × 0.0922654647300193 × 6371000     		du = 112.709234900922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47838176)-sin(-1.47839945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0922830792579054-0.0922654647300193)×R²
    abs(2.09234979-2.09215805)×1.76145278861228e-05×R²
    0.000191739999999996×1.76145278861228e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.76145278861228e-05×40589641000000     		ar = 12703.8803166677m²