Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27282 / 32402
↖ ↑ ↗
← S 84.691839°
E119.729004°		 ← 113.02 m → S 84.691839°
E119.739990°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 84.692855°
E119.729004°		 ← 113 m →
12 765 m²		 S 84.692855°
E119.739990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832595825195312 y=0.988845825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832595825195312 × 215)
    floor (0.832595825195312 × 32768)
    floor (27282.5)     		tx = 27282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.988845825195312 × 215)
    floor (0.988845825195312 × 32768)
    floor (32402.5)     		ty = 32402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27282 / 32402 ti = "15/27282/32402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27282/32402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27282 ÷ 215
    27282 ÷ 32768     		x = 0.83258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32402 ÷ 215
    32402 ÷ 32768     		y = 0.98883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83258056640625 × 2 - 1) × π
    0.6651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08966533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.9776611328125 × 3.1415926535     		Φ = -3.07141303245624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08966533} λ = 2.08966533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.07141303245624))-π/2
    2×atan(0.0463556065807893)-π/2
    2×0.0463224456959818-π/2
    0.0926448913919637-1.57079632675     		φ = -1.47815144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08966533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47815144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.691839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27282 KachelY 32402 2.08966533 -1.47815144 119.729004 -84.691839
    Oben rechts KachelX + 1 27283 KachelY 32402 2.08985708 -1.47815144 119.739990 -84.691839
    Unten links KachelX 27282 KachelY + 1 32403 2.08966533 -1.47816917 119.729004 -84.692855
    Unten rechts KachelX + 1 27283 KachelY + 1 32403 2.08985708 -1.47816917 119.739990 -84.692855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47815144--1.47816917) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47815144--1.47816917) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08966533-2.08985708) × cos(-1.47815144) × R
    0.000191749999999935 × 0.0925124139894984 × 6371000     		do = 113.016796041782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08966533-2.08985708) × cos(-1.47816917) × R
    0.000191749999999935 × 0.0924947600095114 × 6371000     		du = 112.995229246911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47815144)-sin(-1.47816917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0925124139894984-0.0924947600095114)×R²
    abs(2.08985708-2.08966533)×1.76539799870007e-05×R²
    0.000191749999999935×1.76539799870007e-05×6371000²
    0.000191749999999935×1.76539799870007e-05×40589641000000     		ar = 12764.9139651524m²