Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27264 / 30848
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
E119.531250°		 ← 151.98 m → S 82.853382°
E119.542236°		 →
↑
151.95 m
↓
↑
151.95 m
↓
S 82.854749°
E119.531250°		 ← 151.95 m →
23 091 m²		 S 82.854749°
E119.542236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832046508789062 y=0.941421508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832046508789062 × 215)
    floor (0.832046508789062 × 32768)
    floor (27264.5)     		tx = 27264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.941421508789062 × 215)
    floor (0.941421508789062 × 32768)
    floor (30848.5)     		ty = 30848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27264 / 30848 ti = "15/27264/30848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27264/30848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27264 ÷ 215
    27264 ÷ 32768     		x = 0.83203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30848 ÷ 215
    30848 ÷ 32768     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83203125 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08621387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08621387} λ = 2.08621387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08621387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27264 KachelY 30848 2.08621387 -1.44606432 119.531250 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 27265 KachelY 30848 2.08640562 -1.44606432 119.542236 -82.853382
    Unten links KachelX 27264 KachelY + 1 30849 2.08621387 -1.44608817 119.531250 -82.854749
    Unten rechts KachelX + 1 27265 KachelY + 1 30849 2.08640562 -1.44608817 119.542236 -82.854749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44608817) × R
    2.38499999998254e-05 × 6371000     		dl = 151.948349998888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44608817) × R
    2.38499999998254e-05 × 6371000     		dr = 151.948349998888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08621387-2.08640562) × cos(-1.44606432) × R
    0.000191749999999935 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 151.982705716707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08621387-2.08640562) × cos(-1.44608817) × R
    0.000191749999999935 × 0.124385161932611 × 6371000     		du = 151.953795934432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44608817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.124385161932611)×R²
    abs(2.08640562-2.08621387)×2.36647457702438e-05×R²
    0.000191749999999935×2.36647457702438e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.36647457702438e-05×40589641000000     		ar = 23091.3249658053m²