Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2712 / 1496
↖ ↑ ↗
← N 43.580391°
E 58.359375°		 ← 7 079.63 m → N 43.580391°
E 58.447265°		 →
↑
7 083.41 m
↓
↑
7 083.41 m
↓
N 43.516688°
E 58.359375°		 ← 7 087.11 m →
50 174 393 m²		 N 43.516688°
E 58.447265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6622314453125 y=0.3653564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6622314453125 × 212)
    floor (0.6622314453125 × 4096)
    floor (2712.5)     		tx = 2712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3653564453125 × 212)
    floor (0.3653564453125 × 4096)
    floor (1496.5)     		ty = 1496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2712 / 1496 ti = "12/2712/1496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2712/1496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2712 ÷ 212
    2712 ÷ 4096     		x = 0.662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1496 ÷ 212
    1496 ÷ 4096     		y = 0.365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.662109375 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.01856324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365234375 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01856324} λ = 1.01856324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846757394888672))-π/2
    2×atan(2.33207258789549)-π/2
    2×1.16570881825687-π/2
    2.33141763651375-1.57079632675     		φ = 0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01856324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2712 KachelY 1496 1.01856324 0.76062131 58.359375 43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 2713 KachelY 1496 1.02009722 0.76062131 58.447265 43.580391
    Unten links KachelX 2712 KachelY + 1 1497 1.01856324 0.75950949 58.359375 43.516688
    Unten rechts KachelX + 1 2713 KachelY + 1 1497 1.02009722 0.75950949 58.447265 43.516688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76062131-0.75950949) × R
    0.00111181999999999 × 6371000     		dl = 7083.40521999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76062131-0.75950949) × R
    0.00111181999999999 × 6371000     		dr = 7083.40521999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01856324-1.02009722) × cos(0.76062131) × R
    0.00153398000000005 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 7079.62807025501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01856324-1.02009722) × cos(0.75950949) × R
    0.00153398000000005 × 0.725173846387604 × 6371000     		du = 7087.11426891324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76062131)-sin(0.75950949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.725173846387604)×R²
    abs(1.02009722-1.01856324)×0.00076600930503179×R²
    0.00153398000000005×0.00076600930503179×6371000²
    0.00153398000000005×0.00076600930503179×40589641000000     		ar = 50174393.4863956m²