Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27016 / 30600
↖ ↑ ↗
← S 82.506295°
E116.806641°		 ← 159.31 m → S 82.506295°
E116.817627°		 →
↑
159.27 m
↓
↑
159.27 m
↓
S 82.507727°
E116.806641°		 ← 159.28 m →
25 372 m²		 S 82.507727°
E116.817627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824478149414062 y=0.933853149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824478149414062 × 215)
    floor (0.824478149414062 × 32768)
    floor (27016.5)     		tx = 27016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933853149414062 × 215)
    floor (0.933853149414062 × 32768)
    floor (30600.5)     		ty = 30600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27016 / 30600 ti = "15/27016/30600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27016/30600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27016 ÷ 215
    27016 ÷ 32768     		x = 0.824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30600 ÷ 215
    30600 ÷ 32768     		y = 0.933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824462890625 × 2 - 1) × π
    0.64892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03866047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.86767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.72588385999487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03866047} λ = 2.03866047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72588385999487))-π/2
    2×atan(0.0654882946467097)-π/2
    2×0.0653949145691978-π/2
    0.130789829138396-1.57079632675     		φ = -1.44000650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03866047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44000650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.506295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27016 KachelY 30600 2.03866047 -1.44000650 116.806641 -82.506295
    Oben rechts KachelX + 1 27017 KachelY 30600 2.03885221 -1.44000650 116.817627 -82.506295
    Unten links KachelX 27016 KachelY + 1 30601 2.03866047 -1.44003150 116.806641 -82.507727
    Unten rechts KachelX + 1 27017 KachelY + 1 30601 2.03885221 -1.44003150 116.817627 -82.507727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44000650--1.44003150) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dl = 159.274999999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44000650--1.44003150) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dr = 159.274999999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03866047-2.03885221) × cos(-1.44000650) × R
    0.000191739999999996 × 0.130417264256127 × 6371000     		do = 159.314540008998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03866047-2.03885221) × cos(-1.44003150) × R
    0.000191739999999996 × 0.130392477735476 × 6371000     		du = 159.284261401649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44000650)-sin(-1.44003150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130417264256127-0.130392477735476)×R²
    abs(2.03885221-2.03866047)×2.47865206508824e-05×R²
    0.000191739999999996×2.47865206508824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.47865206508824e-05×40589641000000     		ar = 25372.4120488961m²