Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26976 / 30432
↖ ↑ ↗
← S 82.261699°
E116.367187°		 ← 164.49 m → S 82.261699°
E116.378174°		 →
↑
164.50 m
↓
↑
164.50 m
↓
S 82.263178°
E116.367187°		 ← 164.46 m →
27 056 m²		 S 82.263178°
E116.378174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823257446289062 y=0.928726196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823257446289062 × 215)
    floor (0.823257446289062 × 32768)
    floor (26976.5)     		tx = 26976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.928726196289062 × 215)
    floor (0.928726196289062 × 32768)
    floor (30432.5)     		ty = 30432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26976 / 30432 ti = "15/26976/30432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26976/30432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26976 ÷ 215
    26976 ÷ 32768     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30432 ÷ 215
    30432 ÷ 32768     		y = 0.9287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9287109375 × 2 - 1) × π
    -0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6936702634502))-π/2
    2×atan(0.0676322550886032)-π/2
    2×0.0675294177819463-π/2
    0.135058835563893-1.57079632675     		φ = -1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26976 KachelY 30432 2.03099056 -1.43573749 116.367187 -82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 26977 KachelY 30432 2.03118231 -1.43573749 116.378174 -82.261699
    Unten links KachelX 26976 KachelY + 1 30433 2.03099056 -1.43576331 116.367187 -82.263178
    Unten rechts KachelX + 1 26977 KachelY + 1 30433 2.03118231 -1.43576331 116.378174 -82.263178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43573749--1.43576331) × R
    2.58200000000652e-05 × 6371000     		dl = 164.499220000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43573749--1.43576331) × R
    2.58200000000652e-05 × 6371000     		dr = 164.499220000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03118231) × cos(-1.43573749) × R
    0.000191750000000379 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 164.492029661872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03118231) × cos(-1.43576331) × R
    0.000191750000000379 × 0.134623027319998 × 6371000     		du = 164.460774128258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43573749)-sin(-1.43576331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.134623027319998)×R²
    abs(2.03118231-2.03099056)×2.55849127428764e-05×R²
    0.000191750000000379×2.55849127428764e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.55849127428764e-05×40589641000000     		ar = 27056.2398215869m²