Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26924 / 30492
↖ ↑ ↗
← S 82.349953°
E115.795899°		 ← 162.63 m → S 82.349953°
E115.806885°		 →
↑
162.59 m
↓
↑
162.59 m
↓
S 82.351415°
E115.795899°		 ← 162.60 m →
26 439 m²		 S 82.351415°
E115.806885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821670532226562 y=0.930557250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821670532226562 × 215)
    floor (0.821670532226562 × 32768)
    floor (26924.5)     		tx = 26924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930557250976562 × 215)
    floor (0.930557250976562 × 32768)
    floor (30492.5)     		ty = 30492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26924 / 30492 ti = "15/26924/30492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26924/30492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26924 ÷ 215
    26924 ÷ 32768     		x = 0.8216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30492 ÷ 215
    30492 ÷ 32768     		y = 0.9305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8216552734375 × 2 - 1) × π
    0.643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02101969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.861083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70517511935901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02101969} λ = 2.02101969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70517511935901))-π/2
    2×atan(0.0668586145836343)-π/2
    2×0.066759259928852-π/2
    0.133518519857704-1.57079632675     		φ = -1.43727781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02101969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.795899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43727781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.349953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26924 KachelY 30492 2.02101969 -1.43727781 115.795899 -82.349953
    Oben rechts KachelX + 1 26925 KachelY 30492 2.02121144 -1.43727781 115.806885 -82.349953
    Unten links KachelX 26924 KachelY + 1 30493 2.02101969 -1.43730333 115.795899 -82.351415
    Unten rechts KachelX + 1 26925 KachelY + 1 30493 2.02121144 -1.43730333 115.806885 -82.351415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43727781--1.43730333) × R
    2.55199999998901e-05 × 6371000     		dl = 162.5879199993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43727781--1.43730333) × R
    2.55199999998901e-05 × 6371000     		dr = 162.5879199993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02101969-2.02121144) × cos(-1.43727781) × R
    0.000191749999999935 × 0.133122160165373 × 6371000     		do = 162.627255902751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02101969-2.02121144) × cos(-1.43730333) × R
    0.000191749999999935 × 0.13309686725929 × 6371000     		du = 162.596357095934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43727781)-sin(-1.43730333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133122160165373-0.13309686725929)×R²
    abs(2.02121144-2.02101969)×2.52929060827745e-05×R²
    0.000191749999999935×2.52929060827745e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.52929060827745e-05×40589641000000     		ar = 26438.7153876182m²