Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26914 / 30498
↖ ↑ ↗
← S 82.358722°
E115.686035°		 ← 162.44 m → S 82.358722°
E115.697022°		 →
↑
162.46 m
↓
↑
162.46 m
↓
S 82.360183°
E115.686035°		 ← 162.41 m →
26 388 m²		 S 82.360183°
E115.697022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821365356445312 y=0.930740356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821365356445312 × 215)
    floor (0.821365356445312 × 32768)
    floor (26914.5)     		tx = 26914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930740356445312 × 215)
    floor (0.930740356445312 × 32768)
    floor (30498.5)     		ty = 30498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26914 / 30498 ti = "15/26914/30498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26914/30498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26914 ÷ 215
    26914 ÷ 32768     		x = 0.82135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30498 ÷ 215
    30498 ÷ 32768     		y = 0.93072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82135009765625 × 2 - 1) × π
    0.6427001953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01910221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.8614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70632560494989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01910221} λ = 2.01910221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70632560494989))-π/2
    2×atan(0.0667817389415683)-π/2
    2×0.0666827260058926-π/2
    0.133365452011785-1.57079632675     		φ = -1.43743087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01910221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.686035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43743087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.358722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26914 KachelY 30498 2.01910221 -1.43743087 115.686035 -82.358722
    Oben rechts KachelX + 1 26915 KachelY 30498 2.01929396 -1.43743087 115.697022 -82.358722
    Unten links KachelX 26914 KachelY + 1 30499 2.01910221 -1.43745637 115.686035 -82.360183
    Unten rechts KachelX + 1 26915 KachelY + 1 30499 2.01929396 -1.43745637 115.697022 -82.360183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43743087--1.43745637) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dl = 162.460500000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43743087--1.43745637) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dr = 162.460500000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01910221-2.01929396) × cos(-1.43743087) × R
    0.000191750000000379 × 0.132970460896175 × 6371000     		do = 162.441934121679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01910221-2.01929396) × cos(-1.43745637) × R
    0.000191750000000379 × 0.132945187292918 × 6371000     		du = 162.411058895951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43743087)-sin(-1.43745637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132970460896175-0.132945187292918)×R²
    abs(2.01929396-2.01910221)×2.52736032566592e-05×R²
    0.000191750000000379×2.52736032566592e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.52736032566592e-05×40589641000000     		ar = 26387.8898374029m²