Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26912 / 30497
↖ ↑ ↗
← S 82.357262°
E115.664063°		 ← 162.46 m → S 82.357262°
E115.675049°		 →
↑
162.40 m
↓
↑
162.40 m
↓
S 82.358722°
E115.664063°		 ← 162.43 m →
26 381 m²		 S 82.358722°
E115.675049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821304321289062 y=0.930709838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821304321289062 × 215)
    floor (0.821304321289062 × 32768)
    floor (26912.5)     		tx = 26912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930709838867188 × 215)
    floor (0.930709838867188 × 32768)
    floor (30497.5)     		ty = 30497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26912 / 30497 ti = "15/26912/30497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26912/30497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26912 ÷ 215
    26912 ÷ 32768     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30497 ÷ 215
    30497 ÷ 32768     		y = 0.930694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930694580078125 × 2 - 1) × π
    -0.86138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70613385735141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70613385735141))-π/2
    2×atan(0.066794545407398)-π/2
    2×0.0666954756001687-π/2
    0.133390951200337-1.57079632675     		φ = -1.43740538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43740538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.357262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26912 KachelY 30497 2.01871872 -1.43740538 115.664063 -82.357262
    Oben rechts KachelX + 1 26913 KachelY 30497 2.01891046 -1.43740538 115.675049 -82.357262
    Unten links KachelX 26912 KachelY + 1 30498 2.01871872 -1.43743087 115.664063 -82.358722
    Unten rechts KachelX + 1 26913 KachelY + 1 30498 2.01891046 -1.43743087 115.675049 -82.358722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43740538--1.43743087) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dl = 162.396790000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43740538--1.43743087) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dr = 162.396790000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.01891046) × cos(-1.43740538) × R
    0.000191739999999996 × 0.132995724501801 × 6371000     		do = 162.464323975976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.01891046) × cos(-1.43743087) × R
    0.000191739999999996 × 0.132970460896175 × 6371000     		du = 162.43346257329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43740538)-sin(-1.43743087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132995724501801-0.132970460896175)×R²
    abs(2.01891046-2.01871872)×2.5263605626602e-05×R²
    0.000191739999999996×2.5263605626602e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.5263605626602e-05×40589641000000     		ar = 26381.1788086863m²