Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26900 / 30484
↖ ↑ ↗
← S 82.338243°
E115.532227°		 ← 162.87 m → S 82.338243°
E115.543213°		 →
↑
162.91 m
↓
↑
162.91 m
↓
S 82.339708°
E115.532227°		 ← 162.84 m →
26 529 m²		 S 82.339708°
E115.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820938110351562 y=0.930313110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820938110351562 × 215)
    floor (0.820938110351562 × 32768)
    floor (26900.5)     		tx = 26900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930313110351562 × 215)
    floor (0.930313110351562 × 32768)
    floor (30484.5)     		ty = 30484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26900 / 30484 ti = "15/26900/30484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26900/30484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26900 ÷ 215
    26900 ÷ 32768     		x = 0.8209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30484 ÷ 215
    30484 ÷ 32768     		y = 0.9302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8209228515625 × 2 - 1) × π
    0.641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01641775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70364113857117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01641775} λ = 2.01641775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70364113857117))-π/2
    2×atan(0.0669612531165496)-π/2
    2×0.066861441003217-π/2
    0.133722882006434-1.57079632675     		φ = -1.43707344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01641775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43707344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.338243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26900 KachelY 30484 2.01641775 -1.43707344 115.532227 -82.338243
    Oben rechts KachelX + 1 26901 KachelY 30484 2.01660949 -1.43707344 115.543213 -82.338243
    Unten links KachelX 26900 KachelY + 1 30485 2.01641775 -1.43709901 115.532227 -82.339708
    Unten rechts KachelX + 1 26901 KachelY + 1 30485 2.01660949 -1.43709901 115.543213 -82.339708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43707344--1.43709901) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dl = 162.906470000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43707344--1.43709901) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dr = 162.906470000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01641775-2.01660949) × cos(-1.43707344) × R
    0.000191739999999996 × 0.133324708416715 × 6371000     		do = 162.866202679488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01641775-2.01660949) × cos(-1.43709901) × R
    0.000191739999999996 × 0.133299366651605 × 6371000     		du = 162.835245799089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43707344)-sin(-1.43709901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133324708416715-0.133299366651605)×R²
    abs(2.01660949-2.01641775)×2.53417651098486e-05×R²
    0.000191739999999996×2.53417651098486e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.53417651098486e-05×40589641000000     		ar = 26529.4366247844m²