Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26885 / 30467
↖ ↑ ↗
← S 82.313302°
E115.367432°		 ← 163.40 m → S 82.313302°
E115.378418°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
S 82.314772°
E115.367432°		 ← 163.37 m →
26 700 m²		 S 82.314772°
E115.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820480346679688 y=0.929794311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820480346679688 × 215)
    floor (0.820480346679688 × 32768)
    floor (26885.5)     		tx = 26885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929794311523438 × 215)
    floor (0.929794311523438 × 32768)
    floor (30467.5)     		ty = 30467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26885 / 30467 ti = "15/26885/30467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26885/30467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26885 ÷ 215
    26885 ÷ 32768     		x = 0.820465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30467 ÷ 215
    30467 ÷ 32768     		y = 0.929779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820465087890625 × 2 - 1) × π
    0.64093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01354153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.85955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.700381429397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01354153} λ = 2.01354153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.700381429397))-π/2
    2×atan(0.0671798834697394)-π/2
    2×0.0670790922598373-π/2
    0.134158184519675-1.57079632675     		φ = -1.43663814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01354153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.367432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43663814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.313302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26885 KachelY 30467 2.01354153 -1.43663814 115.367432 -82.313302
    Oben rechts KachelX + 1 26886 KachelY 30467 2.01373328 -1.43663814 115.378418 -82.313302
    Unten links KachelX 26885 KachelY + 1 30468 2.01354153 -1.43666379 115.367432 -82.314772
    Unten rechts KachelX + 1 26886 KachelY + 1 30468 2.01373328 -1.43666379 115.378418 -82.314772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43663814--1.43666379) × R
    2.56500000002102e-05 × 6371000     		dl = 163.416150001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43663814--1.43666379) × R
    2.56500000002102e-05 × 6371000     		dr = 163.416150001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01354153-2.01373328) × cos(-1.43663814) × R
    0.000191749999999935 × 0.133756109591633 × 6371000     		do = 163.401713404385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01354153-2.01373328) × cos(-1.43666379) × R
    0.000191749999999935 × 0.133730690031353 × 6371000     		du = 163.370659871829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43663814)-sin(-1.43666379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133756109591633-0.133730690031353)×R²
    abs(2.01373328-2.01354153)×2.54195602797658e-05×R²
    0.000191749999999935×2.54195602797658e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.54195602797658e-05×40589641000000     		ar = 26699.9415853646m²