Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26883 / 30469
↖ ↑ ↗
← S 82.316241°
E115.345459°		 ← 163.33 m → S 82.316241°
E115.356445°		 →
↑
163.29 m
↓
↑
163.29 m
↓
S 82.317709°
E115.345459°		 ← 163.30 m →
26 668 m²		 S 82.317709°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820419311523438 y=0.929855346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820419311523438 × 215)
    floor (0.820419311523438 × 32768)
    floor (26883.5)     		tx = 26883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929855346679688 × 215)
    floor (0.929855346679688 × 32768)
    floor (30469.5)     		ty = 30469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26883 / 30469 ti = "15/26883/30469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26883/30469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26883 ÷ 215
    26883 ÷ 32768     		x = 0.820404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30469 ÷ 215
    30469 ÷ 32768     		y = 0.929840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820404052734375 × 2 - 1) × π
    0.64080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01315804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.85968017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70076492459396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01315804} λ = 2.01315804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70076492459396))-π/2
    2×atan(0.0671541252464895)-π/2
    2×0.0670534497205068-π/2
    0.134106899441014-1.57079632675     		φ = -1.43668943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01315804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43668943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.316241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26883 KachelY 30469 2.01315804 -1.43668943 115.345459 -82.316241
    Oben rechts KachelX + 1 26884 KachelY 30469 2.01334978 -1.43668943 115.356445 -82.316241
    Unten links KachelX 26883 KachelY + 1 30470 2.01315804 -1.43671506 115.345459 -82.317709
    Unten rechts KachelX + 1 26884 KachelY + 1 30470 2.01334978 -1.43671506 115.356445 -82.317709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43668943--1.43671506) × R
    2.56300000001097e-05 × 6371000     		dl = 163.288730000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43668943--1.43671506) × R
    2.56300000001097e-05 × 6371000     		dr = 163.288730000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01315804-2.01334978) × cos(-1.43668943) × R
    0.000191739999999996 × 0.133705280293301 × 6371000     		do = 163.331099975136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01315804-2.01334978) × cos(-1.43671506) × R
    0.000191739999999996 × 0.133679880377594 × 6371000     		du = 163.300072059392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43668943)-sin(-1.43671506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133705280293301-0.133679880377594)×R²
    abs(2.01334978-2.01315804)×2.53999157061591e-05×R²
    0.000191739999999996×2.53999157061591e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.53999157061591e-05×40589641000000     		ar = 26667.5946322787m²