Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26882 / 30461
↖ ↑ ↗
← S 82.304480°
E115.334473°		 ← 163.59 m → S 82.304480°
E115.345459°		 →
↑
163.54 m
↓
↑
163.54 m
↓
S 82.305951°
E115.334473°		 ← 163.56 m →
26 751 m²		 S 82.305951°
E115.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820388793945312 y=0.929611206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820388793945312 × 215)
    floor (0.820388793945312 × 32768)
    floor (26882.5)     		tx = 26882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929611206054688 × 215)
    floor (0.929611206054688 × 32768)
    floor (30461.5)     		ty = 30461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26882 / 30461 ti = "15/26882/30461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26882/30461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26882 ÷ 215
    26882 ÷ 32768     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30461 ÷ 215
    30461 ÷ 32768     		y = 0.929595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.85919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.69923094380612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69923094380612))-π/2
    2×atan(0.0672572174349447)-π/2
    2×0.0671560783760551-π/2
    0.13431215675211-1.57079632675     		φ = -1.43648417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43648417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.304480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26882 KachelY 30461 2.01296629 -1.43648417 115.334473 -82.304480
    Oben rechts KachelX + 1 26883 KachelY 30461 2.01315804 -1.43648417 115.345459 -82.304480
    Unten links KachelX 26882 KachelY + 1 30462 2.01296629 -1.43650984 115.334473 -82.305951
    Unten rechts KachelX + 1 26883 KachelY + 1 30462 2.01315804 -1.43650984 115.345459 -82.305951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43648417--1.43650984) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dl = 163.543570000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43648417--1.43650984) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dr = 163.543570000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01315804) × cos(-1.43648417) × R
    0.000191749999999935 × 0.133908694474258 × 6371000     		do = 163.588117085956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01315804) × cos(-1.43650984) × R
    0.000191749999999935 × 0.133883255622534 × 6371000     		du = 163.557039986216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43648417)-sin(-1.43650984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133908694474258-0.133883255622534)×R²
    abs(2.01315804-2.01296629)×2.54388517236526e-05×R²
    0.000191749999999935×2.54388517236526e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.54388517236526e-05×40589641000000     		ar = 26751.2434491184m²