Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26880 / 30466
↖ ↑ ↗
← S 82.311832°
E115.312500°		 ← 163.43 m → S 82.311832°
E115.323486°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
S 82.313302°
E115.312500°		 ← 163.40 m →
26 705 m²		 S 82.313302°
E115.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820327758789062 y=0.929763793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820327758789062 × 215)
    floor (0.820327758789062 × 32768)
    floor (26880.5)     		tx = 26880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929763793945312 × 215)
    floor (0.929763793945312 × 32768)
    floor (30466.5)     		ty = 30466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26880 / 30466 ti = "15/26880/30466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26880/30466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26880 ÷ 215
    26880 ÷ 32768     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30466 ÷ 215
    30466 ÷ 32768     		y = 0.92974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.8594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70018968179852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70018968179852))-π/2
    2×atan(0.067192766286146)-π/2
    2×0.0670919171845049-π/2
    0.13418383436901-1.57079632675     		φ = -1.43661249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43661249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.311832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26880 KachelY 30466 2.01258279 -1.43661249 115.312500 -82.311832
    Oben rechts KachelX + 1 26881 KachelY 30466 2.01277454 -1.43661249 115.323486 -82.311832
    Unten links KachelX 26880 KachelY + 1 30467 2.01258279 -1.43663814 115.312500 -82.313302
    Unten rechts KachelX + 1 26881 KachelY + 1 30467 2.01277454 -1.43663814 115.323486 -82.313302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43661249--1.43663814) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dl = 163.416149999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43661249--1.43663814) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dr = 163.416149999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01277454) × cos(-1.43661249) × R
    0.000191749999999935 × 0.133781529063911 × 6371000     		do = 163.432766829434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01277454) × cos(-1.43663814) × R
    0.000191749999999935 × 0.133756109591633 × 6371000     		du = 163.401713404385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43661249)-sin(-1.43663814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133781529063911-0.133756109591633)×R²
    abs(2.01277454-2.01258279)×2.54194722784096e-05×R²
    0.000191749999999935×2.54194722784096e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.54194722784096e-05×40589641000000     		ar = 26705.0162250352m²