Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26880 / 30464
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E115.312500°		 ← 163.49 m → S 82.308893°
E115.323486°		 →
↑
163.48 m
↓
↑
163.48 m
↓
S 82.310363°
E115.312500°		 ← 163.46 m →
26 726 m²		 S 82.310363°
E115.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820327758789062 y=0.929702758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820327758789062 × 215)
    floor (0.820327758789062 × 32768)
    floor (26880.5)     		tx = 26880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929702758789062 × 215)
    floor (0.929702758789062 × 32768)
    floor (30464.5)     		ty = 30464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26880 / 30464 ti = "15/26880/30464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26880/30464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26880 ÷ 215
    26880 ÷ 32768     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30464 ÷ 215
    30464 ÷ 32768     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26880 KachelY 30464 2.01258279 -1.43656118 115.312500 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 26881 KachelY 30464 2.01277454 -1.43656118 115.323486 -82.308893
    Unten links KachelX 26880 KachelY + 1 30465 2.01258279 -1.43658684 115.312500 -82.310363
    Unten rechts KachelX + 1 26881 KachelY + 1 30465 2.01277454 -1.43658684 115.323486 -82.310363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.43658684) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dl = 163.479859999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.43658684) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dr = 163.479859999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01277454) × cos(-1.43656118) × R
    0.000191749999999935 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 163.494885463428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01277454) × cos(-1.43658684) × R
    0.000191749999999935 × 0.133806948448172 × 6371000     		du = 163.463820146958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.43658684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.133806948448172)×R²
    abs(2.01277454-2.01258279)×2.54292062657202e-05×R²
    0.000191749999999935×2.54292062657202e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.54292062657202e-05×40589641000000     		ar = 26725.5817108863m²