Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26865 / 30447
↖ ↑ ↗
← S 82.283857°
E115.147705°		 ← 164.02 m → S 82.283857°
E115.158692°		 →
↑
163.99 m
↓
↑
163.99 m
↓
S 82.285331°
E115.147705°		 ← 163.99 m →
26 896 m²		 S 82.285331°
E115.158692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819869995117188 y=0.929183959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819869995117188 × 215)
    floor (0.819869995117188 × 32768)
    floor (26865.5)     		tx = 26865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929183959960938 × 215)
    floor (0.929183959960938 × 32768)
    floor (30447.5)     		ty = 30447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26865 / 30447 ti = "15/26865/30447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26865/30447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26865 ÷ 215
    26865 ÷ 32768     		x = 0.819854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30447 ÷ 215
    30447 ÷ 32768     		y = 0.929168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819854736328125 × 2 - 1) × π
    0.63970947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00970658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.85833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6965464774274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00970658} λ = 2.00970658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6965464774274))-π/2
    2×atan(0.0674380097307239)-π/2
    2×0.0673360543541193-π/2
    0.134672108708239-1.57079632675     		φ = -1.43612422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00970658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43612422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.283857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26865 KachelY 30447 2.00970658 -1.43612422 115.147705 -82.283857
    Oben rechts KachelX + 1 26866 KachelY 30447 2.00989833 -1.43612422 115.158692 -82.283857
    Unten links KachelX 26865 KachelY + 1 30448 2.00970658 -1.43614996 115.147705 -82.285331
    Unten rechts KachelX + 1 26866 KachelY + 1 30448 2.00989833 -1.43614996 115.158692 -82.285331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43612422--1.43614996) × R
    2.57400000001073e-05 × 6371000     		dl = 163.989540000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43612422--1.43614996) × R
    2.57400000001073e-05 × 6371000     		dr = 163.989540000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00970658-2.00989833) × cos(-1.43612422) × R
    0.000191749999999935 × 0.134265393964572 × 6371000     		do = 164.023875183779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00970658-2.00989833) × cos(-1.43614996) × R
    0.000191749999999935 × 0.134239886985264 × 6371000     		du = 163.992714856707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43612422)-sin(-1.43614996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134265393964572-0.134239886985264)×R²
    abs(2.00989833-2.00970658)×2.55069793082818e-05×R²
    0.000191749999999935×2.55069793082818e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.55069793082818e-05×40589641000000     		ar = 26895.6448579283m²