Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26864 / 30448
↖ ↑ ↗
← S 82.285331°
E115.136719°		 ← 163.99 m → S 82.285331°
E115.147705°		 →
↑
163.99 m
↓
↑
163.99 m
↓
S 82.286806°
E115.136719°		 ← 163.96 m →
26 891 m²		 S 82.286806°
E115.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819839477539062 y=0.929214477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819839477539062 × 215)
    floor (0.819839477539062 × 32768)
    floor (26864.5)     		tx = 26864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929214477539062 × 215)
    floor (0.929214477539062 × 32768)
    floor (30448.5)     		ty = 30448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26864 / 30448 ti = "15/26864/30448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26864/30448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26864 ÷ 215
    26864 ÷ 32768     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30448 ÷ 215
    30448 ÷ 32768     		y = 0.92919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92919921875 × 2 - 1) × π
    -0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69673822502588))-π/2
    2×atan(0.0674250798939839)-π/2
    2×0.0673231830433996-π/2
    0.134646366086799-1.57079632675     		φ = -1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26864 KachelY 30448 2.00951483 -1.43614996 115.136719 -82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 26865 KachelY 30448 2.00970658 -1.43614996 115.147705 -82.285331
    Unten links KachelX 26864 KachelY + 1 30449 2.00951483 -1.43617570 115.136719 -82.286806
    Unten rechts KachelX + 1 26865 KachelY + 1 30449 2.00970658 -1.43617570 115.147705 -82.286806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43614996--1.43617570) × R
    2.57399999998853e-05 × 6371000     		dl = 163.989539999269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43614996--1.43617570) × R
    2.57399999998853e-05 × 6371000     		dr = 163.989539999269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.00970658) × cos(-1.43614996) × R
    0.000191749999999935 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 163.992714856707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.00970658) × cos(-1.43617570) × R
    0.000191749999999935 × 0.134214379917016 × 6371000     		du = 163.961554420983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43614996)-sin(-1.43617570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.134214379917016)×R²
    abs(2.00970658-2.00951483)×2.55070682484149e-05×R²
    0.000191749999999935×2.55070682484149e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.55070682484149e-05×40589641000000     		ar = 26890.534881148m²