Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26848 / 30560
↖ ↑ ↗
← S 82.448764°
E114.960937°		 ← 160.54 m → S 82.448764°
E114.971924°		 →
↑
160.49 m
↓
↑
160.49 m
↓
S 82.450208°
E114.960937°		 ← 160.51 m →
25 762 m²		 S 82.450208°
E114.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819351196289062 y=0.932632446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819351196289062 × 215)
    floor (0.819351196289062 × 32768)
    floor (26848.5)     		tx = 26848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.932632446289062 × 215)
    floor (0.932632446289062 × 32768)
    floor (30560.5)     		ty = 30560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26848 / 30560 ti = "15/26848/30560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26848/30560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26848 ÷ 215
    26848 ÷ 32768     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30560 ÷ 215
    30560 ÷ 32768     		y = 0.9326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    -0.865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.71821395605566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71821395605566))-π/2
    2×atan(0.0659925147638955)-π/2
    2×0.0658969649143413-π/2
    0.131793929828683-1.57079632675     		φ = -1.43900240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43900240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.448764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26848 KachelY 30560 2.00644687 -1.43900240 114.960937 -82.448764
    Oben rechts KachelX + 1 26849 KachelY 30560 2.00663862 -1.43900240 114.971924 -82.448764
    Unten links KachelX 26848 KachelY + 1 30561 2.00644687 -1.43902759 114.960937 -82.450208
    Unten rechts KachelX + 1 26849 KachelY + 1 30561 2.00663862 -1.43902759 114.971924 -82.450208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43900240--1.43902759) × R
    2.51900000001193e-05 × 6371000     		dl = 160.48549000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43900240--1.43902759) × R
    2.51900000001193e-05 × 6371000     		dr = 160.48549000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00663862) × cos(-1.43900240) × R
    0.000191749999999935 × 0.131412722523038 × 6371000     		do = 160.538939783448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00663862) × cos(-1.43902759) × R
    0.000191749999999935 × 0.131387750935472 × 6371000     		du = 160.508433511942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43900240)-sin(-1.43902759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131412722523038-0.131387750935472)×R²
    abs(2.00663862-2.00644687)×2.49715875661471e-05×R²
    0.000191749999999935×2.49715875661471e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.49715875661471e-05×40589641000000     		ar = 25761.7225097843m²