Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2683 / 1401
↖ ↑ ↗
← N 49.325122°
E 55.810547°		 ← 6 369.70 m → N 49.325122°
E 55.898437°		 →
↑
6 373.42 m
↓
↑
6 373.42 m
↓
N 49.267804°
E 55.810547°		 ← 6 377.11 m →
40 620 400 m²		 N 49.267804°
E 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6551513671875 y=0.3421630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6551513671875 × 212)
    floor (0.6551513671875 × 4096)
    floor (2683.5)     		tx = 2683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3421630859375 × 212)
    floor (0.3421630859375 × 4096)
    floor (1401.5)     		ty = 1401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2683 / 1401 ti = "12/2683/1401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2683/1401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2683 ÷ 212
    2683 ÷ 4096     		x = 0.655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1401 ÷ 212
    1401 ÷ 4096     		y = 0.342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.655029296875 × 2 - 1) × π
    0.31005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97407780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342041015625 × 2 - 1) × π
    0.31591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.992485569733643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97407780} λ = 0.97407780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992485569733643))-π/2
    2×atan(2.69793204349177)-π/2
    2×1.21584105473396-π/2
    2.43168210946792-1.57079632675     		φ = 0.86088578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97407780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86088578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.325122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2683 KachelY 1401 0.97407780 0.86088578 55.810547 49.325122
    Oben rechts KachelX + 1 2684 KachelY 1401 0.97561178 0.86088578 55.898437 49.325122
    Unten links KachelX 2683 KachelY + 1 1402 0.97407780 0.85988540 55.810547 49.267804
    Unten rechts KachelX + 1 2684 KachelY + 1 1402 0.97561178 0.85988540 55.898437 49.267804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86088578-0.85988540) × R
    0.00100038000000002 × 6371000     		dl = 6373.42098000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86088578-0.85988540) × R
    0.00100038000000002 × 6371000     		dr = 6373.42098000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97407780-0.97561178) × cos(0.86088578) × R
    0.00153398000000005 × 0.651765930513245 × 6371000     		do = 6369.69969220735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97407780-0.97561178) × cos(0.85988540) × R
    0.00153398000000005 × 0.652524312637287 × 6371000     		du = 6377.11135052812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86088578)-sin(0.85988540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651765930513245-0.652524312637287)×R²
    abs(0.97561178-0.97407780)×0.000758382124041668×R²
    0.00153398000000005×0.000758382124041668×6371000²
    0.00153398000000005×0.000758382124041668×40589641000000     		ar = 40620399.8515378m²