Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2682 / 1462
↖ ↑ ↗
← N 45.706179°
E 55.722656°		 ← 6 824.85 m → N 45.706179°
E 55.810547°		 →
↑
6 828.63 m
↓
↑
6 828.63 m
↓
N 45.644768°
E 55.722656°		 ← 6 832.34 m →
46 629 950 m²		 N 45.644768°
E 55.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6549072265625 y=0.3570556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6549072265625 × 212)
    floor (0.6549072265625 × 4096)
    floor (2682.5)     		tx = 2682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3570556640625 × 212)
    floor (0.3570556640625 × 4096)
    floor (1462.5)     		ty = 1462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2682 / 1462 ti = "12/2682/1462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2682/1462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2682 ÷ 212
    2682 ÷ 4096     		x = 0.65478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1462 ÷ 212
    1462 ÷ 4096     		y = 0.35693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97254382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35693359375 × 2 - 1) × π
    0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97254382} λ = 0.97254382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.898912741675293))-π/2
    2×atan(2.45693034045826)-π/2
    2×1.1842598219064-π/2
    2.36851964381281-1.57079632675     		φ = 0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97254382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2682 KachelY 1462 0.97254382 0.79772332 55.722656 45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 2683 KachelY 1462 0.97407780 0.79772332 55.810547 45.706179
    Unten links KachelX 2682 KachelY + 1 1463 0.97254382 0.79665149 55.722656 45.644768
    Unten rechts KachelX + 1 2683 KachelY + 1 1463 0.97407780 0.79665149 55.810547 45.644768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79772332-0.79665149) × R
    0.00107183 × 6371000     		dl = 6828.62892999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79772332-0.79665149) × R
    0.00107183 × 6371000     		dr = 6828.62892999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97254382-0.97407780) × cos(0.79772332) × R
    0.00153398000000005 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 6824.84880720432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97254382-0.97407780) × cos(0.79665149) × R
    0.00153398000000005 × 0.699104872987187 × 6371000     		du = 6832.34254171659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79772332)-sin(0.79665149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.699104872987187)×R²
    abs(0.97407780-0.97254382)×0.000766780395218158×R²
    0.00153398000000005×0.000766780395218158×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766780395218158×40589641000000     		ar = 46629950.4380096m²