Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2682 / 1403
↖ ↑ ↗
← N 49.210420°
E 55.722656°		 ← 6 384.53 m → N 49.210420°
E 55.810547°		 →
↑
6 388.20 m
↓
↑
6 388.20 m
↓
N 49.152970°
E 55.722656°		 ← 6 391.94 m →
40 809 326 m²		 N 49.152970°
E 55.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6549072265625 y=0.3426513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6549072265625 × 212)
    floor (0.6549072265625 × 4096)
    floor (2682.5)     		tx = 2682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3426513671875 × 212)
    floor (0.3426513671875 × 4096)
    floor (1403.5)     		ty = 1403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2682 / 1403 ti = "12/2682/1403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2682/1403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2682 ÷ 212
    2682 ÷ 4096     		x = 0.65478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1403 ÷ 212
    1403 ÷ 4096     		y = 0.342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97254382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342529296875 × 2 - 1) × π
    0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97254382} λ = 0.97254382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989417608157959))-π/2
    2×atan(2.68966757566576)-π/2
    2×1.21484009492188-π/2
    2.42968018984375-1.57079632675     		φ = 0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97254382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2682 KachelY 1403 0.97254382 0.85888386 55.722656 49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 2683 KachelY 1403 0.97407780 0.85888386 55.810547 49.210420
    Unten links KachelX 2682 KachelY + 1 1404 0.97254382 0.85788116 55.722656 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 2683 KachelY + 1 1404 0.97407780 0.85788116 55.810547 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85888386-0.85788116) × R
    0.00100270000000002 × 6371000     		dl = 6388.20170000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85888386-0.85788116) × R
    0.00100270000000002 × 6371000     		dr = 6388.20170000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97254382-0.97407780) × cos(0.85888386) × R
    0.00153398000000005 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 6384.52521004083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97254382-0.97407780) × cos(0.85788116) × R
    0.00153398000000005 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 6391.94124106932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85888386)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.654041749545626)×R²
    abs(0.97407780-0.97254382)×0.000758829552028994×R²
    0.00153398000000005×0.000758829552028994×6371000²
    0.00153398000000005×0.000758829552028994×40589641000000     		ar = 40809325.770658m²