Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2681 / 1463
↖ ↑ ↗
← N 45.644768°
E 55.634766°		 ← 6 832.34 m → N 45.644768°
E 55.722656°		 →
↑
6 836.08 m
↓
↑
6 836.08 m
↓
N 45.583290°
E 55.634766°		 ← 6 839.84 m →
46 732 080 m²		 N 45.583290°
E 55.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6546630859375 y=0.3572998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6546630859375 × 212)
    floor (0.6546630859375 × 4096)
    floor (2681.5)     		tx = 2681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3572998046875 × 212)
    floor (0.3572998046875 × 4096)
    floor (1463.5)     		ty = 1463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2681 / 1463 ti = "12/2681/1463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2681/1463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2681 ÷ 212
    2681 ÷ 4096     		x = 0.654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1463 ÷ 212
    1463 ÷ 4096     		y = 0.357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654541015625 × 2 - 1) × π
    0.30908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97100984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357177734375 × 2 - 1) × π
    0.28564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97100984} λ = 0.97100984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.897378760887451))-π/2
    2×atan(2.45316434573919)-π/2
    2×1.1837239092432-π/2
    2.3674478184864-1.57079632675     		φ = 0.79665149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97100984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79665149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.644768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2681 KachelY 1463 0.97100984 0.79665149 55.634766 45.644768
    Oben rechts KachelX + 1 2682 KachelY 1463 0.97254382 0.79665149 55.722656 45.644768
    Unten links KachelX 2681 KachelY + 1 1464 0.97100984 0.79557849 55.634766 45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 2682 KachelY + 1 1464 0.97254382 0.79557849 55.722656 45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79665149-0.79557849) × R
    0.00107299999999999 × 6371000     		dl = 6836.08299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79665149-0.79557849) × R
    0.00107299999999999 × 6371000     		dr = 6836.08299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97100984-0.97254382) × cos(0.79665149) × R
    0.00153397999999993 × 0.699104872987187 × 6371000     		do = 6832.3425417161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97100984-0.97254382) × cos(0.79557849) × R
    0.00153397999999993 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 6839.83659433385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79665149)-sin(0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699104872987187-0.699871685931871)×R²
    abs(0.97254382-0.97100984)×0.000766812944683282×R²
    0.00153397999999993×0.000766812944683282×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766812944683282×40589641000000     		ar = 46732080.1661236m²