Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26751 / 30336
↖ ↑ ↗
← S 82.118384°
E113.895263°		 ← 167.52 m → S 82.118384°
E113.906250°		 →
↑
167.49 m
↓
↑
167.49 m
↓
S 82.119890°
E113.895263°		 ← 167.49 m →
28 056 m²		 S 82.119890°
E113.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816390991210938 y=0.925796508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816390991210938 × 215)
    floor (0.816390991210938 × 32768)
    floor (26751.5)     		tx = 26751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.925796508789062 × 215)
    floor (0.925796508789062 × 32768)
    floor (30336.5)     		ty = 30336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26751 / 30336 ti = "15/26751/30336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26751/30336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26751 ÷ 215
    26751 ÷ 32768     		x = 0.816375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30336 ÷ 215
    30336 ÷ 32768     		y = 0.92578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816375732421875 × 2 - 1) × π
    0.63275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98784735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92578125 × 2 - 1) × π
    -0.8515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.67526249399609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98784735} λ = 1.98784735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67526249399609))-π/2
    2×atan(0.0688887431396584)-π/2
    2×0.0687800782245093-π/2
    0.137560156449019-1.57079632675     		φ = -1.43323617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98784735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.895263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43323617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.118384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26751 KachelY 30336 1.98784735 -1.43323617 113.895263 -82.118384
    Oben rechts KachelX + 1 26752 KachelY 30336 1.98803910 -1.43323617 113.906250 -82.118384
    Unten links KachelX 26751 KachelY + 1 30337 1.98784735 -1.43326246 113.895263 -82.119890
    Unten rechts KachelX + 1 26752 KachelY + 1 30337 1.98803910 -1.43326246 113.906250 -82.119890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43323617--1.43326246) × R
    2.62899999998734e-05 × 6371000     		dl = 167.493589999193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43323617--1.43326246) × R
    2.62899999998734e-05 × 6371000     		dr = 167.493589999193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98784735-1.98803910) × cos(-1.43323617) × R
    0.000191749999999935 × 0.137126729932919 × 6371000     		do = 167.519395510147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98784735-1.98803910) × cos(-1.43326246) × R
    0.000191749999999935 × 0.137100688233706 × 6371000     		du = 167.487581948251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43323617)-sin(-1.43326246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137126729932919-0.137100688233706)×R²
    abs(1.98803910-1.98784735)×2.60416992132473e-05×R²
    0.000191749999999935×2.60416992132473e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.60416992132473e-05×40589641000000     		ar = 28055.7606660588m²