Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26616 / 30776
↖ ↑ ↗
← S 82.754296°
E112.412110°		 ← 154.08 m → S 82.754296°
E112.423096°		 →
↑
154.11 m
↓
↑
154.11 m
↓
S 82.755682°
E112.412110°		 ← 154.05 m →
23 744 m²		 S 82.755682°
E112.423096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812271118164062 y=0.939224243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812271118164062 × 215)
    floor (0.812271118164062 × 32768)
    floor (26616.5)     		tx = 26616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.939224243164062 × 215)
    floor (0.939224243164062 × 32768)
    floor (30776.5)     		ty = 30776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26616 / 30776 ti = "15/26616/30776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26616/30776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26616 ÷ 215
    26616 ÷ 32768     		x = 0.812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30776 ÷ 215
    30776 ÷ 32768     		y = 0.939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96196143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.87841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75963143732739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96196143} λ = 1.96196143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75963143732739))-π/2
    2×atan(0.0633150996421972)-π/2
    2×0.0632306966662217-π/2
    0.126461393332443-1.57079632675     		φ = -1.44433493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96196143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.412110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44433493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.754296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26616 KachelY 30776 1.96196143 -1.44433493 112.412110 -82.754296
    Oben rechts KachelX + 1 26617 KachelY 30776 1.96215318 -1.44433493 112.423096 -82.754296
    Unten links KachelX 26616 KachelY + 1 30777 1.96196143 -1.44435912 112.412110 -82.755682
    Unten rechts KachelX + 1 26617 KachelY + 1 30777 1.96215318 -1.44435912 112.423096 -82.755682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44433493--1.44435912) × R
    2.41900000002016e-05 × 6371000     		dl = 154.114490001284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44433493--1.44435912) × R
    2.41900000002016e-05 × 6371000     		dr = 154.114490001284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96196143-1.96215318) × cos(-1.44433493) × R
    0.000191750000000157 × 0.126124594227219 × 6371000     		do = 154.078754698421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96196143-1.96215318) × cos(-1.44435912) × R
    0.000191750000000157 × 0.126100597361778 × 6371000     		du = 154.04943918572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44433493)-sin(-1.44435912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126124594227219-0.126100597361778)×R²
    abs(1.96215318-1.96196143)×2.39968654414668e-05×R²
    0.000191750000000157×2.39968654414668e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.39968654414668e-05×40589641000000     		ar = 23743.5097288598m²