Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26610 / 30770
↖ ↑ ↗
← S 82.745977°
E112.346191°		 ← 154.25 m → S 82.745977°
E112.357178°		 →
↑
154.24 m
↓
↑
154.24 m
↓
S 82.747365°
E112.346191°		 ← 154.23 m →
23 790 m²		 S 82.747365°
E112.357178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812088012695312 y=0.939041137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812088012695312 × 215)
    floor (0.812088012695312 × 32768)
    floor (26610.5)     		tx = 26610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.939041137695312 × 215)
    floor (0.939041137695312 × 32768)
    floor (30770.5)     		ty = 30770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26610 / 30770 ti = "15/26610/30770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26610/30770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26610 ÷ 215
    26610 ÷ 32768     		x = 0.81207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30770 ÷ 215
    30770 ÷ 32768     		y = 0.93902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81207275390625 × 2 - 1) × π
    0.6241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96081094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.8780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75848095173651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96081094} λ = 1.96081094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75848095173651))-π/2
    2×atan(0.0633879846705689)-π/2
    2×0.0633032903457893-π/2
    0.126606580691579-1.57079632675     		φ = -1.44418975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96081094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.346191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44418975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.745977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26610 KachelY 30770 1.96081094 -1.44418975 112.346191 -82.745977
    Oben rechts KachelX + 1 26611 KachelY 30770 1.96100269 -1.44418975 112.357178 -82.745977
    Unten links KachelX 26610 KachelY + 1 30771 1.96081094 -1.44421396 112.346191 -82.747365
    Unten rechts KachelX + 1 26611 KachelY + 1 30771 1.96100269 -1.44421396 112.357178 -82.747365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44418975--1.44421396) × R
    2.4209999999858e-05 × 6371000     		dl = 154.241909999095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44418975--1.44421396) × R
    2.4209999999858e-05 × 6371000     		dr = 154.241909999095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96081094-1.96100269) × cos(-1.44418975) × R
    0.000191749999999935 × 0.126268613549365 × 6371000     		do = 154.254694354934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96081094-1.96100269) × cos(-1.44421396) × R
    0.000191749999999935 × 0.126244597287089 × 6371000     		du = 154.225355146299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44418975)-sin(-1.44421396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126268613549365-0.126244597287089)×R²
    abs(1.96100269-1.96081094)×2.40162622757722e-05×R²
    0.000191749999999935×2.40162622757722e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.40162622757722e-05×40589641000000     		ar = 23790.2760168737m²