Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26609 / 30833
↖ ↑ ↗
← S 82.832851°
E112.335205°		 ← 152.42 m → S 82.832851°
E112.346191°		 →
↑
152.39 m
↓
↑
152.39 m
↓
S 82.834222°
E112.335205°		 ← 152.39 m →
23 225 m²		 S 82.834222°
E112.346191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812057495117188 y=0.940963745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812057495117188 × 215)
    floor (0.812057495117188 × 32768)
    floor (26609.5)     		tx = 26609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940963745117188 × 215)
    floor (0.940963745117188 × 32768)
    floor (30833.5)     		ty = 30833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26609 / 30833 ti = "15/26609/30833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26609/30833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26609 ÷ 215
    26609 ÷ 32768     		x = 0.812042236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30833 ÷ 215
    30833 ÷ 32768     		y = 0.940948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812042236328125 × 2 - 1) × π
    0.62408447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96061919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.88189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.77056105044077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96061919} λ = 1.96061919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77056105044077))-π/2
    2×atan(0.0626268580572268)-π/2
    2×0.0625451734434035-π/2
    0.125090346886807-1.57079632675     		φ = -1.44570598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96061919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.335205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44570598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.832851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26609 KachelY 30833 1.96061919 -1.44570598 112.335205 -82.832851
    Oben rechts KachelX + 1 26610 KachelY 30833 1.96081094 -1.44570598 112.346191 -82.832851
    Unten links KachelX 26609 KachelY + 1 30834 1.96061919 -1.44572990 112.335205 -82.834222
    Unten rechts KachelX + 1 26610 KachelY + 1 30834 1.96081094 -1.44572990 112.346191 -82.834222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44570598--1.44572990) × R
    2.39199999998441e-05 × 6371000     		dl = 152.394319999007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44570598--1.44572990) × R
    2.39199999998441e-05 × 6371000     		dr = 152.394319999007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96061919-1.96081094) × cos(-1.44570598) × R
    0.000191749999999935 × 0.124764374755412 × 6371000     		do = 152.417057202869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96061919-1.96081094) × cos(-1.44572990) × R
    0.000191749999999935 × 0.124740641621052 × 6371000     		du = 152.38806387441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44570598)-sin(-1.44572990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124764374755412-0.124740641621052)×R²
    abs(1.96081094-1.96061919)×2.37331343598546e-05×R²
    0.000191749999999935×2.37331343598546e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.37331343598546e-05×40589641000000     		ar = 23225.2845805641m²