Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26608 / 30768
↖ ↑ ↗
← S 82.743202°
E112.324219°		 ← 154.31 m → S 82.743202°
E112.335205°		 →
↑
154.31 m
↓
↑
154.31 m
↓
S 82.744590°
E112.324219°		 ← 154.28 m →
23 808 m²		 S 82.744590°
E112.335205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812026977539062 y=0.938980102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812026977539062 × 215)
    floor (0.812026977539062 × 32768)
    floor (26608.5)     		tx = 26608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938980102539062 × 215)
    floor (0.938980102539062 × 32768)
    floor (30768.5)     		ty = 30768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26608 / 30768 ti = "15/26608/30768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26608/30768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26608 ÷ 215
    26608 ÷ 32768     		x = 0.81201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30768 ÷ 215
    30768 ÷ 32768     		y = 0.93896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81201171875 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96042745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93896484375 × 2 - 1) × π
    -0.8779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75809745653955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96042745} λ = 1.96042745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75809745653955))-π/2
    2×atan(0.063412298320021)-π/2
    2×0.0633275066558943-π/2
    0.126655013311789-1.57079632675     		φ = -1.44414131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96042745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44414131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.743202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26608 KachelY 30768 1.96042745 -1.44414131 112.324219 -82.743202
    Oben rechts KachelX + 1 26609 KachelY 30768 1.96061919 -1.44414131 112.335205 -82.743202
    Unten links KachelX 26608 KachelY + 1 30769 1.96042745 -1.44416553 112.324219 -82.744590
    Unten rechts KachelX + 1 26609 KachelY + 1 30769 1.96061919 -1.44416553 112.335205 -82.744590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44414131--1.44416553) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dl = 154.305620000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44414131--1.44416553) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dr = 154.305620000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96042745-1.96061919) × cos(-1.44414131) × R
    0.000191739999999996 × 0.126316665691675 × 6371000     		do = 154.305349103304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96042745-1.96061919) × cos(-1.44416553) × R
    0.000191739999999996 × 0.126292639657562 × 6371000     		du = 154.275999487708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44414131)-sin(-1.44416553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126316665691675-0.126292639657562)×R²
    abs(1.96061919-1.96042745)×2.40260341128062e-05×R²
    0.000191739999999996×2.40260341128062e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.40260341128062e-05×40589641000000     		ar = 23807.918158471m²